Le théorème des restes chinois: Textes, commentaires et activités pour l’arithmétique au lycée

Portraits de Ibn al-Haytam, Leonhard Euler et Carl Friedrich Gauss. Fond: Sun Zi suanjing (Classique mathématique de Maître Sun)

Les problèmes de congruences simultanées sont connus dans l'histoire des mathématiques comme « problèmes des restes » ou « des restes chinois ». C'est un sujet qui a donné lieu, depuis des siècles, à de riches développements mathématiques et dont l'origine reste hypothétique puisqu'il est très difficile de démêler les motivations premières qui en ont suscité l’intérêt. Ceci est développé dans le premier chapitre de ce dossier. Dans un second temps (chapitre 2), la résolution mathématique du problème des congruences simultanées est présentée avec des outils connus des élèves de lycée, d’abord dans la situation la plus simple où les modules sont premiers entre eux deux à deux, puis dans un cadre général. Dans le chapitre 3,  un petit ensemble de textes est présenté aux enseignants. Ces textes ont pour beaucoup un intérêt narratif : le problème mathématique y est alors présenté sous des habillages où l’imagination et la poésie ne sont pas en reste. Avec le quatrième chapitre, le registre change : Leonhard Euler nous donne une première synthèse mathématique moderne du problème. Enfin, dans le chapitre 5, c'est l’univers nouveau des congruences, né avec les travaux de Carl Friedrich Gauss, qui est abordé. Des activités pédagogiques sont proposées sous forme d’encart, en liaison avec certains chapitres. Consulter le dossier

Atelier d'histoire des sciences

Mouvement du boulet de canon Johannes Regiomontanus (1561)

L’atelier d’histoire des sciences et des techniques, coordonné par Matthieu Husson, est un dispositif qui vise à regrouper les enseignants du secondaire intéressés par l’histoire des sciences autour d’un projet commun : se former en histoire des sciences en élaborant une offre pédagogique destinée aux élèves dans le domaine de l’histoire des sciences et des techniques. Il se décline au niveau des établissements, au niveau académique et implique la participation de chercheur en histoire des sciences. Consulter le dossier

Des jeux pour découvrir les mathématiques appliquées aux sciences sociales

Par Nicolas Eber, Université Robert Schuman – Strasbourg 3

Ce dossier propose quatre exemples simples d'application des mathématiques aux sciences sociales, à travers des jeux à organiser en classe, et ouvre ainsi à quelques réflexions profondes sur la coopération entre les humains, l'intuition en probabilités, les équilibres économiques, le libre arbitre. On y trouvera un texte sur le dilemme du prisonnier, présentant le livre et proposant une utilisation (peut-être un peu surprenante) du jeu en classe. Trois autres petits textes concernent des cas qui passent très bien en classe et qui peuvent alimenter de belles discussions dans différents types de cours (mathématiques, SES, philosophie).

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Ethnomathématique dans l’océan Indien : les lambroquins à la Réunion

Dominique Tournès, IUFM de la Réunion et équipe REHSEIS À la Réunion, les lambroquins offrent un support naturellement pertinent pour enrichir l’enseignement des mathématiques en s’appuyant sur le vécu culturel des enfants. On évoque ici plusieurs expériences pédagogiques réalisées dans des collèges et des lycées de l’île, en souhaitant que les enseignants d’ailleurs puissent également s’en inspirer. Lire l'article

Voir aussi sur le web

• Dominique Tournès, Les lambroquins à La Réunion : géométrie du quotidien, géométrie de l’infini, Expressions, n° spécial « Mélanges offerts à Claude Wanquet », 1996, p. 259-268 (à lire ici ou là).
• Maria Sidonea Utida Santos, Lambrequim.net (site brésilien).
• Thérèse Éveilleau, Les 17 types de pavage du plan.
• Rafael Pérez Gómez, The four regular mosaics missing in The Alhambra, Computers and Mathematics with Applications, 14 (1987), p. 133-137.
• Rafael Pérez Gómez, Un matemático pasea por la Alhambra.
• Cours de dessin d’entrelacs celtiques.
• Bibliographie commentée de recherches ethnomathématiques sur les frises (avec des liens pour aller vers les doubles frises, les frises bichromatiques et, plus généralement, tous les dessins à motifs répétitifs).
• Les Muqarnas, motifs décoratifs tridimentionnels dans l'architecture arabe.

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La fabrication et l’étude d’instruments à calculer

Caroline Poisard, Université d’Auckland, Nouvelle-Zélande Grâce à un ensemble de textes et de fiches pratiques, l'auteur combine une approche historique et une étude didactique de l'instrumentation mathématique, puis montre comment apprendre à calculer à l'école et au collège en fabriquant des instruments. Consulter le dossier

Voir aussi sur le web

• Les instruments du calcul savant, site développé par une équipe d'historiens des mathématiques.
• Musée des Instruments de mathématiques anciens, mis en ligne par Philippe Dutarte.
• Actes du colloque : L’Océan Indien, au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes. Saint Denis : IUFM de La Réunion.

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A l'école des scribes de Mésopotamie

Brouillon d'écolier "Le scribe bavard, sa faute est très grande"

Christine Proust, équipe REHSEIS Les jeunes scribes de Mésopotamie apprenaient il y a 4000 ans à calculer en base soixante à l'aide de tables et d'algorithmes. Les amateurs d'aujourd'hui peuvent suivre leurs traces. Sous la forme de fiches pratiques utilisables en classe, ce dossier propose des séquences d'enseignement de l'art du calcul à la façon des scribes anciens, appuyées sur des brouillons d'argile réalisées par des écoliers de Nippur. Des collègues de Poitiers et de Besançon racontent comment ils ont fait revivre l'espace de quelques heures des écoles de scribes avec leurs élèves. Consulter le dossier

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Les numérations anciennes

Résumé - Ce dossier propose une documentation sur l’histoire des nombres aussi complète que possible, dans l’esprit des nouveaux programmes de première et terminale littéraire. Ceux-ci précisent : Quoique faisant partie du patrimoine de l’humanité, il s’avère que la culture scientifique n’a pas actuellement la place qui lui revient dans la culture générale. Pour ce qui concerne les mathématiques, elles ont d’une part une histoire qui est liée à l’évolution des civilisations qui les ont engendrées et qui se continue encore aujourd’hui, et d’autre part des liens avec d’autres champs d’étude importants pour les élèves de cette série, comme la littérature, les arts, la philosophie. […] La partie consacrée à l’arithmétique concerne les entiers naturels et les questions de nature variée qui leur sont associées, en liaison avec l’histoire de leur développement. Cette exploration de la notion de nombre se poursuivra en classe terminale. […] L’étude de différents systèmes de numération historiques et actuels se révèle fructueuse tant sur le plan de l’histoire des cultures que sur le plan mathématique. Cette étude permet de revenir sur la distinction entre un objet et sa désignation (ici, nombre et écriture chiffrée), sur la distinction entre les propriétés intrinsèques des entiers naturels et celles liées aux systèmes de numération (ici divisibilité et critères de divisibilité). Elle permet un retour réflexif sur les mécanismes sous-jacents aux techniques opératoires, dont l’aspect algorithmique doit être mis en valeur. [programme de l’enseignement obligatoire de première L]. Une page d’accueil oriente le lecteur vers différents types de documents : articles, fiches techniques, entretiens filmés. Elle propose en outre une bibliographie et d’une liste de liens vers des ressources externes. Le dossier s'adresse aux professeurs de mathématiques, d’histoire et de lettres, et s'efforce de favoriser une approche interdisciplinaire de l’histoire des nombres. Certains documents sont déjà en ligne, d’autres sont en préparation et seront bientôt à la disposition des lecteurs. Consulter le dossier

Un astrolabe pour l'hémisphère sud

"Un astrolabe pour l'hémisphère sud" est une animation proposée par l'IREM de la Réunion pour la fête de la science. Un groupe de professeurs du lycée Édouard-Branly de Créteil, dont le noyau est composé de Gérard Delaforge (productique), Thierry Boucher (physique), Philippe Dutarte (mathématiques), ont réalisé un astrolabe pour l'hémisphère sud à la demande de Dominique Tournès, professeur à l'IUFM de la Réunion, spécialement pour la fête de la science 2007. Celle-ci aura lieu du 12 au 18 novembre à la Réunion, soit un mois plus tard qu'en métropole: le temps pour les visiteurs du nord de traverser l'océan en bateau en se guidant avec l'astrolabe. L'opération est fiancée par l'IREM de la Réunion et Sciences Réunion.

Découvrir la présentation

Pour en savoir plus sur l'astrolobe, voir Les instruments de l'astronomie ancienne, de l'antiquité à la Renaissance de Philippe Dutarte.

Le Laboratoire des Machines Mathématiques

Michela Maschietto, de l'Université de Modene en Italie présente la collection d'instruments de géométrie construite par le "Laboratorio delle Macchine Matematiche". Il s'agit d'un magnifique travail de reconstitution historique et de valorisation du patrimoine technique. Mais cette entreprise est bien plus que cela. Elle s'inscrit dans un mouvement général qui remet à l'expérimentation à l'honneur dans l'enseignement des mathématiques. En France, cette l'approche expérimentale inspire par exemple la nouvelle épreuve pratique du baccalauréat (voir le dossier de EducMath, en particulier le point de vue de Dominique Tournès) et les "Laboratoires de Mathématiques" dans les collèges et les lycées. De ce point de vue, le "Laboratorio delle Macchine Matematiche" renoue avec l'idéal d'Emile Borel :

Lire l'article

On a déjà deviné quel pourrait être, à mon sens, l’idéal du laboratoire de Mathématiques : ce serait, par exemple, un atelier de menuiserie ; le préparateur serait un ouvrier menuisier qui, dans les petits établissements, viendrait seulement quelques heures par semaine, tandis que, dans les grands lycées, il serait présent presque constamment. Sous la haute direction du professeur de Mathématiques, et suivant ses instructions, les élèves, aidés et conseillés par l’ouvrier préparateur, travailleraient par petits groupes à la confection de modèles et d’appareils simples. Si l’on possédait un tour, ils pourraient construire des surfaces de révolution ; avec des poulies et des ficelles, ils feraient les expériences de Mécanique que nous décrivait M. Henri Poincaré, vérifieraient d’une manière concrète le parallélogramme des forces, etc. Il y aurait dans un coin une balance d’épicier ; de l’eau et quelques récipients permettraient, par exemple, de faire faire aux élèves, sur des données concrètes, les problèmes classiques sur les bassins que l’on remplit à l’aide d’un robinet et que l’on vide en même temps à l’aide d’un autre robinet, etc. [Emile Borel, Les exercices pratiques de mathématiques dans l’enseignement secondaire, 1904].

Autres documents de CultureMath sur les instruments mathématiques

• Caroline Poisard, La fabrication et l’étude d’instruments à calculer (2006)
• Philippe Dutarte, l'IREM de la Réunion et le lycée Édouard-Branly de Créteil, Un astrolabe pour l'hémisphère sud (2007)
• Marie-José Durand-Richard, Des machines pour résoudre les équations différentielles

Sites externes

• Laboratorio delle Macchine Matematiche
• Les instruments du calcul  savant

Narration de recherche en mathématiques

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Par l'IREM de l'Université Diderot-Paris 7 Ce dossier présente un dispositif d'enseignement des mathématiques centré sur la résolution de problèmes et l'écriture d'un compte-rendu des recherches. Il a été expérimenté notamment par l'IREM de Montpellier, équipe pionnière à qui on doit le nom de "narration de recherche", et par l'IREM de Paris 7. Il fait l'objet de nombreux stages de formation continue, souvent en association avec les professeurs de français. Les documents ci-dessous sont principalement extraits de la brochure réalisée par l'IREM de Paris 7 et publiée par les Editions du Kangourou / ACL (voir aussi la fiche PUBLIMATH). Les extraits et les images sont diffusés sur CultureMath avec l'aimable autorisation du Kangourou. Le dossier sera peu à peu enrichi de témoignages et d'articles d'analyse portant en particulier sur l'apprentissage du raisonnement et de l'argumentation en mathématiques et en français.