SOMMAIRE
Introduction
Classification des numérations
Bibliographie
Liens externesIntroduction
La représentation des nombres peut prendre des formes très diverses : orale, matérielle, écrite, figurée. Le présent dossier s’intéresse principalement aux numérations écrites anciennes. On trouvera également, dans les différents documents, des références à des auxiliaires de calcul tels que abaques, bouliers, tracés sur du sable, etc., utilisant des représentations des nombres matérielles ou éphémères.
Les numérations écrites peuvent se classer en grands groupes dont la définition a été l’objet des travaux de plusieurs chercheurs, notamment de Geneviève Guitel (Histoire comparée des numérations écrites, 1975). On trouvera une classification assez complète dans l’article d’André Cauty (Ecritures des nombres). Parmi ces groupes, on distingue essentiellement les numérations de principe additif, et les numérations de principe positionnel (voir définitions ci-dessous). Il est néanmoins important de garder à l’esprit le fait que, entre ces deux pôles, il existe de nombreux systèmes hybrides. Toutes les numérations utilisent d’une façon ou d’une autre des règles d’échange permettant de représenter les grands nombres de façon synthétique. La plus répandue dans le monde est la règle d’échange « dix contre un », c’est-à-dire la base dix. Mais d’autres bases sont aussi attestées (soixante en Mésopotamie, vingt en Mésoamérique pré-colombienne). Il arrive aussi que les règles d’échanges soient variables au sein d’un même système numérique, et dans ce cas on ne peut pas véritablement parler de base (ce cas est attesté en Mésopotamie par exemple).
Il arrive que plusieurs écritures différentes des nombres soient utilisées dans une même région, parfois à la même époque. En Grèce, on trouve des numérations alphabétiques et des numérations acrographiques (qui sont l'une et l'autre décimales de principe additif). Les scribes mésopotamiens utilisent des numérations de principe additif pour les mesures et les dénombrements, et des nombres sexagésimaux positionnels pour les calculs savants. En Amérique centrale, "le domaine d’expérience du nombre distingue les domaines du « nombre » et du « nombre-de ». Le premier, plus abstrait, est le domaine de l’arithmétique et du calcul. Le second, plus concret, est celui des dénombrements, des mesures, de la métrologie." (Cauty & Hoppan, Les écritures mayas du nombre).
Les numérations présentées dans ce dossier sont classées ci-dessous selon leur principe et leur base. Pour chacune d’elles, on trouvera des liens vers la fiche technique correspondante et des articles de CultureMATH qui situent leur cadre historique et culturel.
Classification des numérations
Numérations de principe additif
Dans les numérations de principe additif, chaque groupe d'échange est représenté par un signe spécial (par exemple, dans la numération égyptienne, un groupe de dix unités est représenté par une anse, un groupe de dix anses est représenté par un lotus, etc...). La valeur du nombre est la somme des valeurs des différents signes écrits. L'ordre d'écriture des signes n'a pas d'importance en principe, même s'il est d'usage de les ranger dans un ordre décroissant. Ces numérations nécessitent un signe nouveau pour représenter chaque puissance de la base, en conséquence elle ne peuvent représenter qu'une suite limitée de nombre entiers.
Région
base
usage
fiche technique
articles
Mésopotamie
60
comptabilité, dénombrement, expression des mesures, mathématiques
- Le calcul sexagésimal en Mésopotamie: enseignement dans les écoles de scribes
- Calculer chez les marchands Assyriens au début du II e millénaire av. J.-C.
Egypte
10
comptabilité, dénombrement, expression des mesures, mathématiques
Numérations hiéroglyphique, hiératique, démotique
Mycène
10
comptabilité, dénombrement, expression des mesures
- Systèmes numéraux en Grèce ancienne: description et mise en perspective historique
Grèce
10
comptabilité, dénombrement, expression des mesures, mathématiques
Numération acrographique
Numération alphabétique
Numérations de principe positionnel
Dans les numérations positionnelles, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Si la base est dix, les chiffres placés en deuxième position valent dix fois plus que ceux qui sont en première position, les chiffres placés en troisième position valent dix fois plus que ceux qui sont en deuxième position, etc. Si la base est vingt, les chiffres placés en deuxième position valent vingt fois plus que ceux qui sont en première position, les chiffres placés en troisième position valent vingt fois plus que ceux qui sont en deuxième position, etc. Les chiffres ont la même graphie quelque soit leur position. Le nombre de chiffres nécessaire à l'écriture dans une base N est égal à N (si on tient compte du zéro). Le principe de position permet donc de représenter des nombres entiers aussi grand qu'on veut.
Région
base
usage
fiche technique
articles et vidéos
Mésopotamie
60
mathématiques, astronomie
Mésoamérique
20
astronomie, calendriers
Chine
10
Les baguettes
- Chronologie
- Les nombres en Chine ancienne (à paraître)
- Les auxiliaires du texte : baguettes, figures et blocs (vidéo K. Chemla, séquence 5)Inde
10
Les chiffres indiens
- Chronologie
- Textes écrits, Textes dits dans la tradition mathématique de l’Inde médiévaleMonde arabe médiéval 10 Les chiffres arabes
Bibliographie
Ascher, M.: 1998, Mathématiques d'ailleurs. Nombres, formes et jeux dans les sociétés traditionnelles. Seuil, Paris.
Benoit, P., Chemla, K. & Ritter, J.: 1992, Histoire de fractions, fractions d'histoire. (Birkhaüser, ed.), Basel, Boston, Berlin.
Cousquer, E.: 1998, La fabuleuse histoire des nombres. Diderot Editeur, Arts et Sciences.
Chabert, J.-L., Barbin, E., Borowczyk, J., Guillemot, M., Michel-Pajus, A., Djebbar, A. & Martzloff, J.-C.: 1994, Histoire d'algorithmes. Du caillou à la puce. Belin, Collection Regards sur la Science.
Cauty, A.: 2000, 'Numérations à deux 'zéros' chez les Mayas.' Repères 41, p. 25-51.
Cauty, A. & Hoppan, J.-M.: 2005, Et un, et deux zéros mayas Dossier Pour la Science: Mathématiques exotiques.
Cauty, A. : 2005, L’arithmétique maya. Dossier Pour la Science: Mathématiques exotiques.
Couchoud, S.: 1993, Mathématiques égyptiennes. Editions Le Léopard d'Or.
Ifrah, G.: 1994, Histoire universelle des chiffres. L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. Paris.
Panza, M.: 2007, Nombres : éléments de mathématiques pour philosophes. ENS Editions.
Alexei Volkov (éditeur), Sous les nombres, le monde, Matériaux pour l'histoire culturelle du nombre en Chine ancienne, Presses Universitaires de Vincennes, octobre 1994, Extrême-Orient, Extrême-Occident n° 16
Yabuuti, K.: 2000, Une histoire des mathématiques chinoises. Belin - Pour la Science, Paris.
Liens externes
Actes du colloque L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes (IUFM de la Réunion, novembre 1997). Les articles sont en ligne. Voir notamment :
- Nombres, outils de calcul et expressions mathématiques en Chine ancienne, Liu Dun,
- Histoire de la numération et de l’arithmétique indiennes des origines au XIIe siècle, Catherine Morice-Singh
- Le boulier chinois, Nathalie Ayme
- La diffusion de la numération décimale de position, Michel Soutif
- Quelques aspects des suites et des fractions dans le Ganita-sâra-sangraha de Mahâvîrâçârya (IXe siècle), Lawrence Somesh Ignace
Le site de Mahdi Abdeljaouad (Université de Tunis) sur les mathématiques arabes: voir notamment Des lettres et des chiffres.
Pour apprendre à compter en base 4, on peut suivre la leçon donnée par les célèbres Shadoks dans la vidéo Compter en Shadok.
