Micah Ross, équipe REHSEIS
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IIIe millénaire avant notre ère et périodes antérieures
Années
Périodes
Cadre social et culturel
Documentation
9000-3050
Période prédynastique
Sédentarisation et urbanisation (Nagada, Hierakonpolis). Naissance du calendrier lunaire.
3050-2695
Epoque archaïque
Dynasties I-II
Naissance de l'écriture. L'unification de l'Haute-Egypte et Basse-Egypte. Naissance de calendrier civil.
Les noms pharaoniques.
Palette de Narmer.
2695-2160
Ancien Empire
Dynasties III-VIII
Les pyramides. Développement des canons artistiques.
Début de la momification.
Premiers textes des pyramides.Tombe de Metjen (calcul de la surface d'un rectangle).
La Pierre de Palerme (liste des pharaons).
Comptabilités : Abusir papyri.
2160-1991
Première période intermédiaire
Dynasties IX-XI
Fin de l'unification.
Plusieurs nomarques portent les emblèmes du pharaon.
IIe millénaire avant notre ère
Années
Périodes
Cadre social et culturel
Documentation
1991-1785
Moyen Empire
Dynastie XII
Réunification de l'Egypte.
Développement du Fayyoum.
Les tombeaux hypogés comme architecture funéraire royale.
Textes des sarcophages.
Comptabilités:
- Papyrus de Reisner (listes de personnes, de produits, d'aliments, et aussi calculs pour batir un temple),
- Papyrus de Kahun (calculs et triplets pythagoriciens),
- Comptabilités du temple d'Illahun (exercices scolaires).Textes savants:
- Papyrus de Golenischev, appelé aussi papyrus de Moscou (25 exercices mathématiques)
- Rouleau de cuir mathématique (26 additions de fractions unitaires)
- Tablette en bois Akhmim, ou tablette du Caire (calculs de fractions)
- sarcophages (36 decans, étoiles levants).Textes médicaux, littérature.
1785-1540
Deuxième période intermédiaire
Dynastie XIII-XVII
Invasion par les Hyksos. Dynasties indépendantes de Xoïs, Avaris, Basse-Egypte, Moyenne-Egypte, Haute-Egypte, et Basse-Nubie.
Comptabilités : actes de mariage.
Textes savants :
Papyrus de Rhind (84 exercices mathématiques avec la citation d'une source dans le Moyen Empire).Textes médicaux, littérature.
1540-1070
Nouvel Empire
Dynastie XVIII-XX
Expulsion des Hyksos. Expansion territoriale maximale.
Période amarnienne.
Livre des morts.Comptabilités : Papyrus Harris
Textes savants :
- Papyrus de Berlin 6619 (somme des nombres carrés),
- Onomastica d'Amenope (listes lexicales),
- listes de rois,
- cartes pour les marins du Nil.
Ier millénaire avant notre ère
Années
Périodes
Cadre social et culturel
Documentation
1070-712
Troisième période intermédiaire
Dynasties XXI-XXIV
Dynasties indépendantes en Basse-Egypte, est du delta (Tanis), Haute-Egypte, et ouest du delta.
712-656
Koushite
Dynastie XXV
Réunification de l'Egypte sous les pharaons nubiens, originaires du royaume de Napata.
Apparition de l'écriture méroïtique.
664-525 Saïte
Dynastie XXVI
Psammétique, avec les mercenaires ioniens et cariens, expulse les Koushites. Apparition de l'usage des petites monnaies en Egypte.
Expansion du négoce international.525-332 Achéménide
Dynasties XXVII-XXXI
Sous le dernier pharaon natif, Nectanebo II, invasion par les armées perses. Textes savants :
Papyrus Démotique de Vienne sur les présages relatifs aux éclipses et à la lune.
Papyri mathématiques démotiques.332-30 Séleucide Restauration des rites égyptiens et ouverture à la civilisation grecque.
Bibliothèque d'Alexandrie.Pierre de Rosette.
Premier horoscope égyptien.
Calcul des éclipses de lune.Après 30 Romaine Tables de positions planétaires (Stobart).
Almageste de Ptolémée
La découverte des mathématiques égyptiennes
En 1853, A. Rhind achetait sur le marché des antiquités un papyrus découvert dans les fouilles illégales dans ou près du Ramesseum à Louxor. Donné au British Museum après sa mort, le Papyrus de Rhind était publié par A. Eisenlohr en 1877, mais il reste peu étudié jusqu'à l'édition de T.E. Peet en 1923. En 1893, V. Golenischev achetait un papyrus mathématique. Il vendait ses papyri au Musée Pushkine en 1909. Ce n'est qu'en 1930 que V. Struve publiait le "papyrus mathématique de Golenischev" ou "papyrus de Moscou". A la différence de la Mésopotamie, l'Egypte a livré peu des textes mathématiques: seuls dix textes sont parvenus jusqu'à nous. Depuis leurs publications initiales, ces oeuvres des mathématiques égyptiennes ont été republiées plusieurs fois.
Les historiens ont généralement considéré les textes égyptiens comme moins importants et moins originaux pour l'histoire des mathématiques que les textes cunéiformes. Les Grecs anciens, pour leur part, attribuaient une sagesse particulière aux prêtres égyptiens. Pythagore, Platon et Eudoxe étaient supposés avoir été étudiants des prêtres égyptiens. Malheureusement, les textes égyptiens ne confirment pas ces légendes grecques.
La majeure partie de l'histoire des mathématiques égyptiennes reste ignorée; des textes sont probablement encore enterrés dans des temples, ou oubliés dans des réserves de musées (c'est le cas par exemple des ostraca qui ont peu intéressé les historiens des sciences). Il est loin d'être certain que, si elle était mise au jour, cette documentation inédite confirmerait les légendes grecques.
Des écoles de scribes?
On sait peu de choses sur les écoles égyptiennes. On dispose de quelques informations au sujet de la "Maisons de vie" de Louxor, édifice éducatif qui était lié au Ramesseum : Les meilleurs élèves de la région y étaient rassemblés pour apprendre le métier de scribe. Là, on leur enseignait l'art d'écrire et de rédiger, mais aussi de nombreuses disciplines comme la théologie, la médecine, l'astronomie, les mathématiques, ainsi que la sculpture et la gravure. Des matières bien utiles puisque certains de ces apprentis se retrouvaient plus tard à décorer parois, piliers et colonnes des nombreux sanctuaires de la région. [Christian Leblanc, Le Journal du CNRS sept/oct 2003]. On ne sait pas quel est le lien exact entre l'enseignement et les temples. Il est possible que les deux grands textes mathématiques égyptiens aient été trouvés dans les temples, mais leur provenance n’est pas sûre et le but de ces compositions reste obscur.
Des sources lacunaires
En Mésopotamie, les textes mathématiques apportent aussi des témoignages sur la société et le contexte culturel (écoles et bibliothèques). En Egypte, en revanche, les textes disponibles ne rendent compte que d'une faible part des activités mathématiques. On ignore dans quelle mesure les textes préservés sont représentatifs, et quel est la place des mathématiques dans la vie sociale. Par exemple, le papyrus Golenischev contient des exercices dans lesquels sont calculés des volumes de pyramides tronquées, mais il date d'une époque très postérieure à la construction des pyramides. Autre exemple, le Papyrus Rhind prétend être une copie d'un texte de la douzième dynastie: témoigne-t-il des mathématiques de son temps, ou d'une tradition antérieure? En Egypte, l'héritage mathématique ancien reste mal connu.
Comme en Mésopotamie, ces lacunes dans la documentation ne sont pas propres aux mathématiques, mais il existe des genres de littérature sans ruptures graves. Parce que les textes funéraires étaient enterrés dans le sable loin du Nil, et parce que les textes religieux étaient inscrits sur les murs des pierre tailles, ces genres se sont mieux conservés que les textes mathématiques. Généralement, les textes mathématiques apparaissent en même temps que les autres domaines savants, l'astronomie et la médecine. Ces arts savants appartiennent à l'histoire de la culture. Après que les Egyptiens ont perdu le pouvoir, les érudits ont assimilé des connaissances étrangères. Les savoirs locaux en astronomie ont disparu après les époques saïte, achéménide et séleucide, ou plus exactement, ils ont été coupés du corpus astronomique et introduit dans le corpus astrologique. En ce qui concerne les mathématiques, les textes démotiques se distinguent des textes hiératiques. On y trouve des additions, des méthodes plus complexes, etc. mais les méthodes anciennes n'ont pas complètement disparu. En fait, les traces d'une influence égyptienne peuvent être perçues dans des écrits grecs, comme ceux de Cléomède, qui utilise les fractions égyptiennes dans un texte astronomique.
Les fractions égyptiennes
Tandis que des mathématiques babyloniennes sont caractérisées par les développements sexagésimaux, des mathématiques égyptiennes se distinguent par l'utilisation des fractions unitaires. En dehors de 2/3, écrit par un signe spécial, le numérateur était toujours 1. Donc, parmi les fractions égyptiennes, 1/2, 1/3 et 1/729 sont utilisée, mais pas 3/4, 7/12 ou 22/25. Les fractions non unitaires étaient décomposées en sommes de fractions unitaires:
3/4 se décompose en 1/2 + 1/4,
7/12 se décompose en 1/2 + 1/12,
22/25 se décompose en 1/2 + 1/3 + 1/20.Il est possible d'écrire la même fraction de plusieurs façons. Les tables de décomposition des fractions en fractions unitaires forment une grande partie des textes mathématiques égyptiens. A partir de ces tables, il est possible de d'identifier quelles règles sont appliquées pour déterminer les éléments ajoutés, mais on ne sait pas si ces règles sont systématiques parce qu'il n'existe pas une quantité suffisante de textes.
Les fractions de l'oeil d'Horus
Une autre légende témoigne de la fascination exercée par la culture égyptienne à la fois sur les auteurs Grecs et sur les historiens actuels: il s'agit des fractions de l'oeil de Horus. D'une part ces fractions sont le seul élément qui exprime une idée avancée, d'autre part elles sont liées à l'image la plus mystique de l'Egypte antique. Les fractions de l'oeil d'Horus sont à la fois unitaires et dyadiques. Les fractions dyadiques ont pour dénominateur une puissance de deux. Donc, les fractions de l'oeil d'Horus sont de la forme 1/2b et la dernière est 1/64. Chaque fraction est identifiée avec une partie de l'oeil d'Horus, dit l'oeil Oudjat. D'après le mythe, Horus aurait perdu un oeil dans un combat avec Seth. L'oeil fut détruit et jeté dans le Nil. A l'aide de Thot, l'oeil fut reconstruit, sauf un morceau. Ce morceau fut miraculeusement restauré. Il est tentant d'identifier la magie de Thot avec la sommation de la série 1/2b, mais cette identification n'est pas faite explicitement dans les textes. Dans les éditions modernes, les fractions d'oeil de Horus sont représentées clairement comme les parties d'oeil. Dans les manuscrits anciens, l'écriture n'est pas aussi claire. Bien que la légende des fractions de l'oeil d'Horus soit souvent répétée, certains auteurs pensent que cette notation pourrait s'expliquer par une confusion des signes hiératiques avec des symboles magiques.
Comptabilités
Les comptabilités sont souvent négligées dans l'histoire des mathématiques égyptiennes. Néanmoins, les comptabilités contiennent des indices intéressants. De plus, il est parfois difficile de distinguer un problème résolu et une comptabilité. Par exemple, les papyri de Kahun contiennent la masse salariale pour les personnes qui servent au temple Illahun. Parce que les petites monnaies n'existent pas en Egypte jusqu'à l'ère Saïte, les prêtes ont reçu du pain et de la bière comme salaire. Les papyri de Kahun enregistrent les salaires des prêtres sous la forme de fractions de pain et de quantités de bière qui se comptent en miettes et en gouttes. Comme l'arpenteur mésopotamien qui casse un roseau et puis mesure la longueur d'un terrain avec une partie du roseau afin de trouver la longueur du roseau, ces petites divisions n'ont rien de réaliste.
Textes de calcul numérique
Les textes de calcul numérique sont constitués seulement de tables de décomposition des fractions. Les tables d'inverses, bien connues en Mésopotamie, n'ont pas lieu d'être en Egypte: à cause des fractions unitaires, les inverses sont évidentes. En dehors du papyrus de Rhind, le Rouleau de cuir mathématique et la Tablette en bois d'Akhmim contiennent des calculs sur des fractions. Il existe encore au moins deux tables écrites en démotique - pas encore publiées - qui concernent la division de 13 par des nombres entiers. Toutes contiennent exclusivement des fractions unitaires. Les algorithmes par lesquels sont déterminés les éléments des sommations sont contestés, mais, comme indiqué plus haut, des règles générales tirées de très peu d'exemples sont incertaines. Par ailleurs, il est possible d'interpréter la Tablette d'Akhmim comme une méthode d'approximation par les fractions de l'oeil d'Horus.
Les textes savants
Le papyrus Rhind et le papyrus Golenischev correspondent bien à la catégorie des séries de problèmes en Mesopotamie. Les textes mathématiques savants égyptiens sont beaucoup moins variés dans leur style et leur contenu que les textes babyloniens. Cette situation est assurément due au petit nombre de textes préservés. Dans les paragraphes d'ouverture du papyrus de Rhind, Ahmes écrit que le papyrus donne "le compte précis pour informer sur des choses, et la connaissance de toutes les choses, mystères à tous les secrets". Malheureusement, les lecteurs modernes risquent d’être déçus par le contenu. Un tiers du papyrus de Rhind contient des tables pour la division de 2 par des nombres entiers. Dans le papyrus de Golenischev, de telles tables manquent, mais les deux papyri contiennent des séries de problèmes accompagnés des solutions. Le caractère général des connaissances mathématiques n'est pas contradictoire avec le fait que les textes se présentent sous forme d'exemples spécifiques; les solutions sont présentées dans une langue très codifiée. Nous identifions aujourd'hui les problèmes dans les deux grands papyri comme étant des problème d’algèbre, de géométrie et de trigonométrie. Sur le papyrus de Golenischev, on lit deux problèmes au sujet des pièces de bateaux, dix problèmes au sujet de la cuisine, deux problèmes au sujet des normes de travail, trois problèmes arithmétiques, sept déterminations de superficies, et une détermination du volume d'une pyramide tronquée. Sur le papyrus de Rhind, on trouve des problèmes arithmétiques, des déterminations de volumes de cylindres et de parallélépipèdes, des déterminations de superficie de champs rectangulaires, circulaires et triangulaires, et enfin des pentes de pyramides.
Textes arithmétiques
Les textes mathématiques les plus abstraits sont sans doute les textes arithmétiques qui donnent la description d'une quantité et puis font la demande de trouver une autre quantité. Les descriptions ne se réfèrent pas aux unités de mesure. Un petit exemple suffit. Le quatorzième problème du papyrus de Rhind énonce: "Une quantité est ajoutée à un quart de cette quantité; le résultat est 15. Quelle est la quantité?". Ces problèmes sont bien adaptés aux notations algébriques, mais les solutions égyptiennes sont fondées sur la méthode de fausse position.
Géométrie
Quoiqu'il existe des légendes au sujet de Pythagore qui serait un étudiant des prêtres égyptiens, seul le papyrus de Berlin 6619 contient trois nombres qui forment un triplet pythagoricien. Et même, dans ce cas, ces trois nombres constituent la solution à un problème lié à la propriété dite de Pythagore, mais ils ne sont pas exactement une expression de cette propriété. Thalès n'était pas supposé avoir été un étudiant en Egypte, mais il est supposé avoir trouvé les dimensions de la grande pyramide. La méthode attribuée à Thalès n'est pas attestée dans les textes, mais on trouve des problèmes qui s'y rapprochent, par exemple les exercices avec le seked du papyrus de Rhind. La géométrie égyptienne parvenue jusqu'à nous concerne surtout les superficies et les volumes. Bien sûr, on y trouve une approximation pour Pi (4x(8/9)²), des superficies cylindriques sont présentes dans le papyrus Golenischev et des volumes cylindriques sont présents dans le papyrus Rhind. La notion de la preuve abstraite n'est pas attestée, et les méthodes de calcul sont comparables à celles de la Mésopotamie.
Conclusion
Pour conclure cette vue d'ensemble des mathématiques égyptiennes, insistons sur le fait que les appréciations générales à leur sujet sont pour le moins spéculatives. Le petit nombre des textes qui a survécu empêche la reconstitution d'une histoire des mathématiques égyptiennes. Par leur élaboration, ces textes laissent pourtant penser qu'il existait une réelle tradition mathématique. Comme en Mésopotamie, les problèmes sont souvent présentés avec un habillage réaliste faisant référence aux activités sociales de l'époque. Egypte et Mésopotamie ont en commun une prédilection pour l'arpentage, les travaux de terrassement, la répartition du travail et des salaires entre travailleurs, mais on ne trouve pas en Egypte de problèmes concernant les constructions en briques, le creusement des canaux, les taux d'intérêt et les problèmes d'héritage, où ces domaines semblent inconnus.
Après la perte de l'autonomie de l'empire, la culture mathématique d'Egypte assimile des méthodes étrangères. A partir des conquêtes d’Alexandre le Grand, l'Egypte adopte la langue grecque. Si on accepte le fait qu'Alexandrie est une ville Egyptienne, il devient presque impossible de séparer les mathématiques grecques et les mathématiques égyptiennes. En fait, on peut voir Ptolémée comme un égyptien qui écrit en grec et utilise des données babyloniennes.
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