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SOMMAIRE Avant
propos
1. Le problème des restes chinois : Questions sur ses origines 2. Les problèmes de congruences résolus au lycée 3. Un florilège de problèmes anciens 4. Le mémoire d'Euler de 1740: une première synthèse 5. Carl Friedrich Gauss et l'univers nouveau des congruences Encart 1: Le problème de Sunzi et l'algorithme de Ratisbonne Encart 2: Un problème de deux restes simultanés étudié en classe Encart 3: La formulation d'un algorithme par Al-Haytham Bibliographie |
Les problèmes de congruences simultanées
sont
connus dans l'histoire des mathématiques comme «
problèmes des restes » ou « des restes
chinois ». C'est un sujet qui a
donné lieu, depuis des siècles, à de
riches développements mathématiques et dont
l'origine
reste hypothétique puisqu'il est très difficile
de démêler les motivations premières
qui en ont
suscité l’intérêt.
C’est ce qui est développé dans le chapitre 1.
L'objet de cette brochure n'est pas de faire une histoire exhaustive ou quasi exhaustive de ces problèmes. Notre perspective d'étude est avant tout motivée par l'enseignement de l'arithmétique au lycée et c'est avec cet objectif que nous avons effectué une sélection – drastique – dans les documents auxquels nous avons eu accès.
Dans un premier temps (chapitre 2), nous présentons la résolution mathématique du problème des congruences simultanées avec des outils connus des élèves de lycée, d’abord dans la situation la plus simple où les modules sont premiers entre eux deux à deux, puis dans un cadre général. Nous avons privilégié le cas de deux équations.
Dans le chapitre 3, nous proposons aux enseignants un petit ensemble de textes qu’il n’est pas toujours facile de se procurer et qui, pour beaucoup, ont un intérêt narratif : le problème mathématique y est alors présenté sous des habillages où l’imagination et la poésie ne sont pas en reste. L’un des mérites de ces énoncés est donc d’aborder une question technique sous un angle moins aride et de montrer aussi comment la notion d’énoncé est appréhendée dans l’histoire. S'ils proposent des explications de niveaux divers, ces textes, en majorité, ne fournissent pas de véritable démonstration : soit que la difficulté intrinsèque rende la démonstration inaccessible, soit que la tradition à laquelle appartient l’ouvrage privilégie le savoir-faire en laissant de côté la justification.
Avec le quatrième chapitre, le registre change : Leonhard Euler nous donne une première synthèse mathématique moderne du problème. Enfin, dans le chapitre 5, nous abordons l’univers nouveau des congruences, né avec les travaux de Carl Friedrich Gauss.
Des activités pédagogiques sont proposées en annexe, en liaison avec certains chapitres.
Une bibliographie des ouvrages cités au cours des différents chapitres figure en fin de brochure. Les références complètes relatives aux textes historiques étudiés sont mentionnées lors de la présentation de ces textes.
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