Le dispositif: présentation pour les professeurs
Qu’est-ce que la narration de recherche ? Inventée
par des collègues de Montpellier (voir Chevalier et Sauter en
bibliographie), cette activité consiste à proposer aux
élèves de travailler sur un problème choisi hors
de toute contrainte de programme, puis de rédiger un compte
rendu de leur recherche qui décrive toutes les idées,
toutes les pistes suivies, y compris celles qui n’ont pas abouti.
Les élèves sont prévenus qu’on
attachera plus d’importance à la description de la
recherche qu’à l’obtention du résultat. Ne
pas trouver ou trouver un résultat faux n’est pas du tout
grave. Chaque élève est ainsi amené à
porter son attention sur la recherche proprement dite : comprendre
pourquoi telle idée ne sera pas utile, faire des retours en
arrière, profiter de la confrontation avec ses deux ou trois
partenaires, utiliser un « déclic » apparu chez
l’un ou l’autre et, finalement, presque toujours, arriver
très près d’une solution du problème.
Les thèmes proposés à nos
élèves ont été variés :
dénombrements, géométrie, équations,
arithmétique, approximations… Le raisonnement par
récurrence est souvent présent en filigrane.
À un sujet donné on consacre en
général trois ou quatre séances d’une heure.
Les élèves (en demi-classe ou en classe entière)
se regroupent par trois ou quatre. Le professeur distribue à
chacun une feuille où est exposé le sujet. Une
première demi-page explique la « règle du jeu
». Le problème proprement dit est exposé dans la
demi-page inférieure. Il comporte le plus souvent plusieurs
questions. Les premières portent sur des cas particuliers
très simples que l’on peut traiter à l’aide
de dessins ou de calculs élémentaires. Puis les choses se
compliquent et le recours au raisonnement devient la seule chance de
salut…
Une ou deux séances sont consacrées à la
recherche. Chaque élève note au brouillon tout ce qui
s’est passé dans son groupe et les résultats
progressivement obtenus. Le professeur est amené à
intervenir lors de ces séances, il répond aux questions
et peut faire des suggestions, signaler des impasses, encourager telle
initiative ; cela dépend beaucoup de la difficulté du
sujet.
La séance suivante est consacrée à la
rédaction individuelle, au propre, de la narration. Enfin la
dernière séance est celle de la correction. Le professeur
présente des extraits de copies (rétroprojection de
transparents), récapitule les principales idées et les
principales méthodes qui sont apparues, et explique la solution
du problème. Cette séance est l’occasion d’un
dialogue avec la classe et d’un travail sur les écrits des
élèves très apprécié d’eux et
pendant lequel ils restent très attentifs.
Le résultat le plus spectaculaire de notre
expérience est le degré de concentration des
élèves, même dans des classes
réputées « agitées ».
L’intérêt et l’attention ne se manifestent pas
uniquement pendant la phase de la recherche, mais encore (et cela nous
a surpris) pendant les séances de correction. Cette
concentration et cet intérêt s’expliquent en partie
par la particularité de cette activité, qui tranche sur
les cours habituels : les élèves ont l’initiative,
ils sont encouragés à parler entre eux, on leur dit
qu’on attache peu d’importance au « résultat
», enfin il n’y aura pas de note « sanction ».
En effet, si nous n’avons pas jusqu’ici trouvé de
méthode entièrement satisfaisante pour
l’évaluation de ces travaux, nous sommes tous au moins
d’accord pour estimer qu’elle ne doit pas être
pénalisante.
Nous avons également été très
frappés par la qualité des productions écrites des
élèves (compte non tenu de l’orthographe…) ;
cela a été confirmé par des collègues
professeurs de français qui y ont trouvé une rigueur et
une précision généralement absentes des
rédactions qu’ils ont à lire. Il ne fait pas de
doute qu’un travail en commun du professeur de français et
du professeur de mathématiques sur ces narrations de recherche
est très fructueux.
Dans les réflexions qui accompagnent les compte rendus des
narrations de recherche que vous lirez ici, c’est notre
intuition, notre expérience d’enseignants ou de
mathématiciens qui parle et, sans vouloir exposer quelque
théorie que ce soit, nous espérons simplement faire
partager au plus grand nombre de collègues cette
expérience. Nous les invitons à s’y associer avec
leurs élèves, à critiquer notre point de vue,
à en suggérer d’autres, à proposer de
nouveaux sujets de recherche. Nous avons en tout cas la conviction que,
à un moment où, dans l’enseignement secondaire, on
renonce de plus en plus à « faire des
démonstrations » en se contentant de la maîtrise de
quelques algorithmes, la narration de recherche est un moyen efficace
permettant aux élèves d’avoir une véritable
activité mathématique. Elle est l’occasion,
à travers la résolution de problèmes, de prendre
goût à la recherche et au raisonnement, et aussi de
prendre plus à cœur l’effort de rédiger.
Le dispositif : présentation pour les élèves
Voici la façon dont le déroulement de
la narration de recherche peut être présenté aux
élèves.
"La solution du problème qu’on vous
propose n’est pas facile à trouver. Le but de ce travail
est bien sûr de trouver la solution, mais surtout de la chercher.
Vous pouvez essayer toutes les méthodes qui vous viennent
à l’esprit. Il faudra ensuite expliquer par écrit
tous les détails de vos recherches, de vos idées,
même si elles ne donnent pas le bon résultat (il faudra
alors expliquer pourquoi ça ne marche pas).
La recherche durera deux heures. Vous travaillerez par groupes de 3 ou 4 élèves.
Cette semaine, vous aller chercher en notant au brouillon tout ce
que vous faites, vos idées, les idées du groupe. Vous
pouvez discuter entre vous, vous disputer, utiliser les idées
des autres, utiliser des méthodes qui finalement ne marchent
pas : tout est permis. Ce qui est important, c’est
d’écrire ce qui se passe dans votre groupe et dans votre
tête. Les brouillons et les énoncés seront
relevés par le professeur à la fin de l’heure.
La semaine prochaine, on vous rendra vos brouillons et vos
énoncés. Vous pourrez continuer à chercher si vous
le souhaitez, puis vous rédigerez au propre un compte-rendu de
vos recherches à partir de ce que vous avez écrit au
brouillon. Chaque élève doit rendre une copie.
Les copies seront notées, mais pas tout à fait comme
d’habitude. Le plus important n’est pas d’avoir
trouvé la réponse juste, mais d’avoir écrit
le plus de détails possible sur votre recherche.
Il faut :
- raconter avec précision tous vos essais, même s’ils n’ont pas donné la solution ;
- reproduire les dessins que vous avez faits au brouillon ;
- rédiger de façon à être compris par celui qui lit votre copie."
Une liste de sujets
Tous les sujets de problème ne se prêtent pas à l'activité de narration de recherche.
Le problème doit être ouvert et offrir plusieurs
voies d'accès, de façon à inspirer les
élèves quel que soit leur niveau et leur
personnalité, et aussi à susciter des discussions. La
réponse ne doit pas paraître évidente aux
élèves, et la solution doit être réellement
énigmatique: un problème est un défi à
relever! Il ne faut pas hésiter à poser des
problèmes difficiles, même (surtout?) à des
élèves considérés comme "faibles"; les
professeurs seront souvent surpris par l'ingéniosité de
leurs élèves.
La rédaction du sujet est importante. Le sujet doit
commencer par des questions faciles pour aider à entrer dans la
recherche, et pour ne décourager personne. Il doit être
rédigé de façon attractive et claire, en
évitant les obstacles inutiles que dressent souvent les mises en
scène pseudo concrètes.
Les problèmes de dénombrement se prêtent
particulièrement bien aux narrations de recherche; il ne faut
cependant pas s'y cantonner car bien des problèmes
numériques et géométriques peuvent aussi susciter
des recherches très actives et intéressantes.
Voici une liste de sujets qui ont fait leurs preuves: ils ont
été testés dans des classes de collège et
de lycée (voir la Brochure).
Certains d'entre eux, notamment les problèmes de
dénombrement, ont autant de succès en sixième
qu'en terminale. Les lecteurs sont invités à enrichir
cette liste.
D'autres sujets ont été testés, mais n'ont pas donné de résultats satisfaisants (voir la Brochure p. 72-79)
Quelques témoignages d'élèves et de professeurs
Vu dans des copies d'élèves de sixième du collège Pierre Mendès-France (Paris 20e)
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«Tout d’abord quand on a commencé
le premier polygone je trouvais que c’était facile mais je
ne savais pas ce qui m’attendais.»
«Quand nous avons commencé je me suis demandé si ça allé être marran.»
«Au début on a eu du mal pour les 8, 9 et
10 côtés ensuite la tâche se faciliter de plus en
plus vite. On s’est aidé, on s’est disputé,
un coup on était d’accord, un coup on était pas
d’accord.»
«Des fois on rigolé, des fois on s’énervé.»
«À chaque fois que une personne du groupe était en retard on l’attendait.»
«Roben est revenu à la table avec une idée en tête mais au moment ou il a voulu nous
l’expliqué il ne s’en souvenait plus.»
«Alors pour combien de diagonales a un polygone de 100 côtés je suis devenu folle j’ai
voulu faire un cercle avec 100 arcs ! même pas arrivés.»
«Est-ce que c'est possible une méthode qui marche au début et pas à la fin?»
«C’est à ce moment précis que nous nous apercevons que le nombre de diagonales que
donne un angle augmente d’1 par faces.»
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Des points de vue de professeurs et d'animateurs IREM
«Première déception : la moitié
seulement des élèves se sont déclarés
intéressés par cette activité. Beaucoup
l’ont trouvée trop longue (ils avaient deux heures de
suite pour la faire). Deuxième déception : le goût
de chercher par soi-même m’a semblé très
atrophié chez la plupart d’entre eux. […] À
mon grand étonnement, le grand succès a été
la narration. Même ceux qui avaient peu cherché, ou pas du
tout, la semaine précédente, ont écrit avec
plaisir. Certains se sont mis à compter les diagonales à
ce moment-là, d’autres ont raconté les bons mots de
leurs camarades, les disputes… Leur professeur de
français, à qui j’ai montré les copies, a
été plutôt heureusement surprise de leur
prolixité et de la qualité de leur rédaction. Le
succès mitigé de cette première expérience
m’a décidée à donner, dès l’an
prochain, ce genre de travail aux élèves,
régulièrement.» [Marie-Rose Bérélowitch, collège Pierre Mendès-France, Paris 20e]
«Il nous (le groupe ZEP de l’IREM de Paris 7) a
semblé que la « narration de recherche », avec sa
technique de mise en oeuvre relativement normalisée, mais assez
simple pour un professeur dans les conditions habituelles
d’enseignement, pouvait jouer un tel rôle de
déclenchement. La réalisation a dépassé nos
espérances (en tout cas les miennes) ; quelle joie, à la
lecture des premières narrations ! Quelle surprise devant
l’expression, maladroite souvent et d’une orthographe pour
le moins bizarre, des interrogations et des certitudes naissantes chez
des élèves finalement bien quelconques ! Quelle
admiration pour ces enfants, aux prises avec les pièges
multiples du langage, et pourtant si profondément sûrs de
leur découvertes !» [André Deledicq]
«Cette première expérience est pour moi
une réussite, ne serait-ce que pour une seule raison : tous les
élèves ont produit du raisonnement, et beaucoup de
l’abstraction. Presque tous se sont investi avec entrain dans ce
problème complexe et difficile. Ceci infirme une idée
fort répandue, à savoir que dans les ZEP, « il faut
faire du simple et du concret ». Autre indice très
révélateur : les réactions d’enfants que
nous pensions bien connaître nous ont surpris. Ils ont eu des
idées auxquelles nous n’avions pas pensé, et la
carte des bonnes idées ne se superpose pas avec celle des bons
élèves. Presque tous étaient fiers d’avoir "
fait de la recherche"». [Christine Proust, collège Pierre Mendès-France, Paris 20e]
«Comme le soulignent dans l’introduction les
membres du groupe, les difficultés que rencontrent les
élèves de ZEP sont des difficultés sociales voire
culturelles, non des difficultés cognitives à proprement
parler. Est-ce la raison pour laquelle ce qui est souvent mis en place
relève plus de l’accompagnement social que des contenus
disciplinaires ? Le choix du groupe s’est voulu, lui,
centré sur les mathématiques elles-mêmes, partant
du principe que ces élèves sont tout autant que les
autres capables de faire des mathématiques, de faire de vraies
mathématiques raisonnablement ambitieuses, qu’ils peuvent,
tout autant que les autres élèves, ressentir le plaisir
de chercher et la jubilation de finir par trouver, et qu’il faut
impérativement leur donner l’occasion de ressentir ce
plaisir si l’on veut qu’ils construisent un rapport positif
aux mathématiques. Le dispositif des narrations de recherche
associé à un travail en groupe est sans aucun doute tout
à fait intéressant de ce point de vue.
D’emblée, dans le contrat passé avec les
élèves, c’est la recherche qui prime et l’on
ne cherche pas à donner l’impression fausse qu’elle
va nécessairement aboutir complètement pour chacun des
élèves, qu’elle se fera en ligne droite, sans
erreurs et sans renoncements. On donne de plus à cette recherche
le temps de se développer en vraie grandeur, en
s’évadant momentanément des contraintes
imposées par la gestion du temps didactique, sans
dépasser cependant deux à trois heures. Mais ce qui me
semble tout aussi important et qui fait la force de ce dispositif,
c’est que l’on ne s’arrête pas à la
seule recherche. La recherche elle-même devient objet
d’étude et, par le biais de la narration, un travail
réflexif peut se mettre en place. Le fait que, dans le
dispositif, une séance entière, baptisée de
correction, soit consacrée à un travail avec
l’enseignant sur les écrits produits, est de ce point de
vue un maillon essentiel. Et s’il y a un « résultat
» inattendu à retenir de cette expérience,
c’est pour moi l’attention soutenue portée par les
élèves à cette phase du travail. Tranchant si
fortement avec le vécu des corrections ordinaires, cette
attention nous dit bien que ce qui est en jeu là est bien plus
qu’une simple correction.» [Michèle Artigue]
De nouvelles pistes: liaison mathématiques - français
Une des retombées les plus intéressantes et
novatrices de l'expérience des narrations de recherche est le
développement d'un travail commun entre des professeurs de
mathématiques et de français. Voici des
témoignages et des analyses de cette convergence par des
professseurs de mathématiques et de français. Les
lecteurs sont invités à réagir à ces
premières contributions.
Collaborer avec les collègues de français: un
témoignage de Marie-Jo Carles, professeur de
mathématiques
Pendant plusieurs années, des enseignants du
collège Pierre Mendès France (Paris 20e arrondissement)
ont proposé des narrations de recherche à leurs
élèves. Partie des professeurs de mathématiques,
cette façon de travailler a fait tâche d’huile. La
narration de recherche est devenue une activité commune aux
mathématiques et au français. Lire la suite...
«C’est pas du
français, ça !»: une analyse de
Valérie Louchard, professeur de français au
collège Mme De Staël à Lille
Après le célèbre «c’est pas des
maths, ça» entendu dans une salle des profs au vu
d’une narration de recherche voici le second volet d’une
expérimentation en classe qui pourrait s’intituler
«c’est pas du
français, ça !». Lire la suite...
Bibliographie
Sur les narrations de recherche
Bonafé N. (juillet 1993) Les narrations de recherche, un outil pour apprendre à démontrer dans Repères n° 12, Topique éditions, p. 5 à 12.
F. Bonafé, A. Chevalier, M-C. Combes, A. Deville, L. Dray, J-P Robert et M. Sauter (2002), Les Narrations de Recherche de l’école primaire au lycée, coéditions de l’IREM de Montpellier et de l’APMEP n° 151
Chevalier A. (1989) “Narration de recherche” en classe de quatrième : influence sur les stratégies et la motivation des élèves in Actes de la 41ème rencontre CIAEM.
Lacage, Michel (2005) Problèmes ouverts et narrations de recherche en TS
Lacombe, Marie-Claire (septembre 1993) Un outil : la narration de recherche dans les Cahiers pédagogiques N° 316, "Français-mathématiques"
Sauter M. (janvier 1998), Narration de recherche, une nouvelle pratique pédagogique dans Repères n° 30, Topique éditions, p. 9 à 21.
Sur la démonstration et l'expérimentation en mathématiques
Arsac, Gilbert et Michel Mante, Les pratiques du problème ouvert , co-édité par l’IREM et le CRDP de l’académie de Lyon
Balacheff N. (1988). Une étude des processus de preuve en mathématiques chez des élèves de collège . Thèse d’État. Université de Grenoble 1.
Boero, Paolo (1999) Argumentation et démonstration:
Une relation complexe, productive et inévitable
en mathématique et dans l'enseignement des mathématiques,
Borel, Émile Les exercices pratiques de mathématiques dans l’enseignement secondaire, Gazette des mathématiciens, 93 (2002), p. 47-64.
Thierry Dias (2007) Les mathématiques à l'école élémentaire, une science expérimentale, dans le dossier de Gérard Kuntz (2007) sur la Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques
Grenier D. & Payan C. (1998). Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes . Recherches en Didactiques des Mathématiques, vol. 18.1, 59-100.
Houdement, Catherine et Claudine Robert (2005) La spécificité de la démarche d’investigation en mathématique (vidéo)
Kuntz, Gérard (2007) Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques
Lakatos, Imre (1984), Preuves et Réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique. Traduction de l'édition anglaise de 1976, et annotations, de N. Balacheff et J.M. Laborde, Paris. Une note de lecture par J.L. Le Moigne
L'option sciences au lycée : une interview de Jean-Pierre Richeton (CultureMath, 2005)
Mathématiques : des laboratoires pour le primaire et le secondaire?, Troisième colloque de la Cité des géométries de Maubeuge, 1-2-3 mars 2006.
