Dossier présenté par Jean-Jacques Dupas

Familles de polyèdres: herbier et définitions

L'herbier contient plus de 300 polyèdres classés par familles avec photos de maquettes et fiches descriptives. Les maquettes ont été réalisées et photographiées par Jean-Jacques Dupas.

On peut classer les polyèdres par familles en considérant leurs propriétés communes (attention: un polyèdre peut appartenir à plusieurs familles).

Polyèdres réguliers ou solides de Platon

Les polyèdres réguliers sont des polyèdres convexes, dont les faces sont des polygones réguliers égaux et dont les sommets sont équivalents. Il y a 5 polyèdres réguliers:

• Le tétraèdre régulier
• L’octaèdre régulier
• Le cube ou hexaèdre régulier
• Le dodécaèdre régulier
• L’icosaèdre régulier

Voir herbier

Polyèdres archimédiens

Les polyèdres archimédiens sont les 13 polyèdres semi réguliers qui ne sont ni réguliers, ni des prismes, ni des antiprismes. La famille contient 13 membres plus deux membres qui sont des formes énantiomorphes.

Voir herbier (en cours)

Polyèdres de Catalan

Les polyèdres de Catalan sont les duaux des polyèdres archimédiens. La famille contient 13 membres (plus deux formes énantiomorphes).

Polyèdres semi-réguliers convexes

Les polyèdres semi-réguliers sont des polyèdres convexes, dont les faces sont des polygones réguliers pas forcement égaux et dont les sommets sont équivalents.

La famille contient les groupes suivants:

• Les polyèdres réguliers (5 membres)
• Les polyèdres archimédiens (13 membres)
• Les prismes (famille infinie)
• Les anti-prismes (famille infinie)

Polyèdres uniformes

Les polyèdres uniformes sont des polyèdres constitués de polygones réguliers et dont tous les sommets sont équivalents. Voir planche.

La famille contient les groupes suivants:

• Les polyèdres réguliers (5 membres) - voir herbier
• Les polyèdres archimédiens (13 membres)
• Les prismes (famille infinie)
• Les anti-prismes (famille infinie)
• Les étoiles de Poinsot-Kepler (4 membres) - voir herbier
• Les polyèdres uniformes réflexifs (44 membres)
• Les polyèdres uniformes camus (7 membres)
• Les prismes non convexe (famille infinie)
• Les antiprismes non convexes (famille infinie)
• Les antiprismes-croisés non convexes (famille infinie)

Prismes réguliers

Pour obtenir un prisme, on prend un polygone quelconque et on en construit un deuxième par translation du premier. Les segments joignant 2 à 2 les sommets ainsi translatés sont parallèles et égaux. Ils limitent des faces latérales qui sont des parallélogrammes. On obtient ainsi tous les prismes. Si la base est un polygone régulier et que les faces latérales sont des carrés, on obtient des prismes droits réguliers. Par exemple, le cube est un prisme droit régulier à base carré.

La famille contient les groupes suivants:

• Les prismes réguliers convexes (famille infinie dont le cube)
• Les prismes réguliers non-convexes (famille infinie)

Antiprismes réguliers

Pour obtenir des anti-prismes, on part d’une base, d’une deuxième base parallèle à la première. Cette deuxième base est tournée de sorte que les faces latérales ne soient plus des parallélogrammes mais des triangles. On obtient des anti-prismes. Par exemple, l ’octaèdre régulier est un anti-prisme à base triangulaire. De même si la base est un polygone régulier et que les faces latérales sont des triangles équilatéraux on obtient la famille infinie des anti-prismes réguliers.

La famille contient les groupes suivants:

• Antiprismes réguliers convexes (famille infinie dont le tétraèdre base digonale, l’octaèdre base triangulaire, un antiprisme à base carrée)
• Antiprismes réguliers non-convexes (famille infinie dont un antiprisme à base d’étoile à 5 branches, un antiprisme à base d’étoile à 8 branches)
• Antiprismes réguliers non-convexes croisés (famille infinie dont un antiprisme croisé à base d’étoile à 5 branches)

Etoiles

Une étoile ets un polyèdre obtenu en prolongeant les faces d’un polyèdre convexe. Les plans se recoupent pour délimiter des cellules de l’espace. On choisit certaines de ces cellules pour former de nouveaux polyèdres. Les étoiles régulières (Kepler-Poinsot) sont des polyèdres réguliers non convexes. Il y a 4 étoiles de Kepler-Poinsot.

Voici quelques étoiles classées selon le polyèdre convexe dont elles sont issues:

• Octaèdre (1 seule étoile)
  • Stella octangula (2 tétraèdres) (aussi polyèdre composé)
• Dodécaèdre (3 étoiles)
  • Petit dodécaèdre étoilé, aussi polyèdre régulier non convexe, oursin de Kepler
  • Grand dodécaèdre étoilé, aussi polyèdre régulier non convexe, oursin de Kepler
  • Grand dodécaèdre, aussi polyèdre régulier non convexe, polyèdre de Poinsot
• Icosaèdre (51 étoiles)
  • Grand icosaèdre, aussi polyèdre régulier non convexe, polyèdre de Poinsot
  • 5 tétraèdres, aussi polyèdre composé
  • 10 tétraèdres, aussi polyèdre composé
  • 5 octaèdres, aussi polyèdre composé
• Dodécaèdre rhombique (3 étoiles)
  • La première étoile s’appelle aussi le polyèdre d’Escher

Polyèdres composés

Un polyèdre composé est un polyèdre constitué de plusieurs polyèdres interpénétrés (groupe de base). En général, on s’arrange pour qu’ils aient le même centre. Les polyèdres composés respectent généralement la symétrie du groupe de base.

La famille contient les membres suivants:

• Stella octangula (2 tétraèdres)
• 5 tétraèdres
• 10 tétraèdres
• 5 octaèdres
• 5 cubes

Il y a d’autres composés qui ne respectent pas entièrement la symétrie du groupe de base.

• 2 dodécaèdres (croix de fer)
• 3 cubes (un autre polyèdre d’Escher)

Les polyèdres de Johnson

Les polyèdres de Jonhson sont les polyèdres convexes constitués de polygones réguliers. Cette famille est constituée de 92 membres, les pyramides, les réguliers des semi-réguliers et bien autres. Norman Jonhson a mis au point une nomenclature originale pour les désigner. La complétude de la liste a été établi par Victor Zalgaller.

Les toroïds de Stewart

Les toroïdes de Stewart sont des polyèdres dont les faces sont des polygones réguliers convexes.
Si le polyèdre était convexe ce serait un polyèdre de Johnson, donc on autorise qu'il y ait au moins un trou. Ceux qui ont un et un seul  trou sont homéomorphe au tore.
Enfin,  il ne doit pas avoir de faces dans le même plan.
On ne connait pas la liste complète.

Polytopes

Un polytope est un objet fermé de dimension 2 (polygones), 3 (polyèdres), 4 ou plus.

Nombre de polytopes réguliers en fonction de la dimension :

• dimension 2 : une infinité de polygones réguliers
• dimension 3 : 5 polyèdres réguliers
• dimension 4 : 6 polytopes réguliers
• dimension 5 et plus : 3 polytopes réguliers
  • Simplexe équivalent du triangle, tétraèdre, hyper-tétraèdre
  • Polytope mesure équivalent du carré, cube, hypercube dual du polytope croisé
  • Polytope croisé équivalent de l’octaèdre, hyper-octaèdre dual du polytope mesure

Les monstres topologiques