Tout sur les polyèdres:
des solides de Platon aux étoiles de Poinsot-Kepler

Dossier présenté par Jean-Jacques Dupas
Ingénieur chercheur au CEA de Bruyères le Châtel - Président de PlayMaths - e-mail

avec la participation d’Alice Dupas

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Le dossier se compose de neuf séquences filmées, où Jean-Jacques Dupas, assisté de sa fille Alice, présente les polyèdres depuis leurs plus simples composants, les polygones, jusqu'aux objets les plus élaborés découverts récemment.

Les neufs séquences sont indépendantes et de niveau croissant: les premières s'adressent aux écoliers (séquences 1 et 2), les suivantes aux collégiens (séquences 3 et 4), puis aux lycéens (séqeunces 5, 6 et 7), et enfin aux étudiants (séquences 8 et 9). Les vidéos sont accompagnées de documents complémentaires: résumés, glossaire, chronologie, bibliographie et herbier (plus de 300 polyèdres classés par familles avec photos de maquettes et fiches descriptives).

Vidéos

Démonstrations réalisées par Jean-Jacques Dupas, avec l'assistance de sa fille Alice, le 18 décembre 2007 à l'Ecole Normale Supérieure de Paris. Prise de vue et montage: Pixel Prod.

Aide pour visionner les vidéos.

Séquence 1 - Les polygones

A la découverte des polygones : les triangles (équilatéraux, isocèles, rectangles, scalènes…), les quadrilatères (trapèzes, parallélogrammes, rectangles, carrés, losanges), les polygones réguliers.

52 Mo 86 Mo

Séquence 2 - Construction de polyèdres réguliers par assemblage de faces

Comment Platon a construit les polyèdres réguliers en assemblant des polygones réguliers. Par assemblage de triangles on trouve le tétraèdre régulier, l’octaèdre régulier et l’icosaèdre régulier. Par assemblage de carrés on produit le cube enfin en assemblant des pentagones régulier on fabrique le dodécaèdre.

38 Mo 27 Mo

Séquence 3 - Pyramides régulières, prismes réguliers et anti-prismes réguliers

Les polyèdres les plus simples sont les pyramides. Description des pyramides et des trois pyramides régulières (à base triangulaire, carrée et pentagonale). Puis viennent les prismes, les prismes droits et la famille infinie des prismes réguliers. Terminons par une famille moins connue, celle des anti-prismes, description de la famille infinie des anti-prismes réguliers. La séquence se termine sur la présentation d’objets insolites l’anti-prisme à base d’étoile à cinq branches, l’anti-prisme à base d’étoile à cinq branches croisé, l’anti-prisme à base d’étoile à huit branches.

60 Mo 14 Mo

Séquence 4 - Recherche de tous les polyèdres réguliers

Construction des polyèdres réguliers à partir des pyramides, prismes et anti-prismes. Les connaissances de la séquence précédente sont directement utilisées pour construire les polyèdres réguliers : La pyramide à base triangulaire donne le tétraèdre Deux pyramides à base carrée donnent l’octaèdre Le prisme régulier à base carré donne le cube L’anti-prisme à base triangulaire redonne l’octaèdre Deux pyramides à base pentagonale et un anti-prime à base pentagonale donne l’icosaèdre Le dodécaèdre régulier ne peut pas se construire avec des pyramides, prismes… C’est aussi l’occasion d’évoquer Platon, Théétète…

48 Mo 35 Mo

Séquence 5 - Le dodécaèdre régulier

Comment Euclide construit un dodécaèdre dans les « Éléments ». Il construit des toits sur un cube. Les cinq cubes inscrits dans le dodécaèdre.

19 Mo 14 Mo

Séquence 6 - Formule d’Euler et dualité

Après un petit rappel historique, la formule d’Euler (S+F-2=A le nombre de Sommets + nombre de Faces moins deux est égal au nombre d’Arête du polyèdre) est testée sur les pyramides, les prismes et les polyèdres réguliers.

71 Mo 52 Mo

Séquence 7 - Les polyèdres archimédiens

Histoire et description succincte des 13 polyèdres archimédiens. Polyèdres convexes composés de polygones réguliers, le même arrangement de polygones régulier se retrouve à chaque sommet.

94 Mo 41 Mo

Séquence 8 - Les polyèdres de Catalan

La dualité, histoire et description succincte des 13 polyèdres de Catalan. Polyèdres duaux des polyèdres archimédiens. Les polyèdres de Catalan sont des polyèdres convexes dont les faces sont un seul type de polygones (ces polygones ont des arêtes de même longueur, mais ils ne sont pas réguliers). Le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique sont des polyèdres de Catalan, ils avaient été identifiés et étudiés par Kepler.

24 Mo 18 Mo

Séquence 9 - Polyèdres non convexes : étoiles de Poinsot-Kepler et polyèdres uniformes

Dans toutes les scènes précédentes les conditions de convexité avaient été volontairement omises et considérés comme implicite (comme chez les grecs). Dans cette séquence, on aborde les polyèdres non convexes: notion de convexité, histoire et description des étoiles de Poinsot-Kepler, introduction aux polyèdres uniformes.

25 Mo 18 Mo