construction

Dans son livre intitulé Polyhedra (Cf. Bibliographie), Peter Cromwell fait remarquer que la construction de polyèdres peut devenir une activité prenante et consommatrice de temps. Je peux en témoigner moi qui m’ adonne à cette activité depuis bientôt 25 ans. D’un autre côté, la construction de polyèdres reste financièrement abordable, donne beaucoup de joie et permet de comprendre beaucoup de choses. Alors laissez-vous tenter !

Pourquoi construire des polyèdres

Comme toute activité humaine, la construction de polyèdre relève de plusieurs motivations :

Le matériel

Je vais décrire ici la réalisation de polyèdres en papier. Evidemment d’autres techniques de construction sont possibles, comme celles du cartonnage par exemple. Il y a certainement près de chez vous des associations qui vous permettraient de vous familiariser à ces différentes techniques que vous pourriez ainsi appliquer à la construction de polyèdres.

Papier : j’utilise du papier de grammage 160g de la série trophée de Clairefontaine que je trouve chez Office-Dépôt.
Pourquoi ai-je choisi ce papier ? Parce qu’il est facile à trouver, qu’il existe de nombreuses couleurs, que le conditionnement A4 ou A3 est pratique, et enfin, ces feuilles peuvent passer dans une imprimante pour reporter les patrons.
Pourquoi 160g ? Parce que le papier de grammage 80g produit des objets qui ne sont pas assez rigides et que celui de grammage 210g est plus difficile à travailler. En particulier l’épaisseur du papier de grammage 210g n’est plus négligeable, on peut donc moins jouer sur l’élasticité du papier. 160g est donc un très bon compromis.

Outil de découpe : J’utilise des ciseaux. L’utilisation du cutter est à proscrire si vous travailler avec des enfants. Les adultes doivent être très prudents et en particulier ne jamais laisser les doigts dans la trajectoire du cutter. Pour des raisons de sécurité je déconseille fortement l’utilisation du cutter et je décline toute responsabilité en cas d’accident. La construction de polyèdre est un passe temps, la prudence est de mise car les doigts sont des biens précieux et irremplaçables.

Colle : la colle blanche est tout à fait adaptée à ce type de travaux. J’utilise de la colle Flexiplé de chez Rougier&Plé-Graphigro, elle sèche vite, elle est repositionnable, ce qui signifie qu’une fois coller il vous reste quelques secondes pendant lesquelles vous pouvez décoller les deux surfaces . Et en enfin, elle se nettoie à l’eau et on peut l’acheter en grande quantité, ce qui m’est utile.

Pliage : l’idéal est de disposer d’un plioir pour marquer les plis. Un stylo à bille hors d’usage pour cause de réservoir d’encre vide fera un plioir idéal ! De plus, vous pourrez "surfer" sur la vague du développement durable en donnant une seconde vie à votre stylo à bille à sec.

Règle : de préférence métallique, pour guider le plioir ou le cutter (attention voir recommandations précédentes).

Pinces : Une bonne idée est de disposer de quelques pinces pour tenir un collage en place, libérant ainsi vos doigts pendant les quelques dizaines de seconde (nécessaires pour que la colle prenne). Vous en trouverez dans tous les magasins de bricolage.
Des brucelles peuvent aussi être utiles pour certaines finitions délicates.

Conclusion sur le matériel : La construction de polyèdre ne va pas vous ruiner en matériel. Si vous ne souhaitez construire qu’un ou deux modèles n’investissez pas, sinon…

Les Patrons

Pour expliquer par la manipulation ce qu’est un patron d’un polyèdre donné on pourrait couper un certain nombre d’arêtes de ce polyèdre, puis déplier ce dernier autour des arêtes restantes afin d’obtenir une figure plane comportant toutes les faces du polyèdre. Cette figure plane serait un patron permettant de reconstituer le polyèdre de départ.

Pour construire un polyèdre à partir d’un patron, on fait donc le contraire :

L’intérêt du patron est donc de partir d’une seule figure plane pour reconstituer tout le polyèdre dans l’espace.

On conjecture que la réponse est "oui" pour les polyèdres convexes, mais cela reste une énigme: aucun contre-exemple n'a été trouvé à ce jour.

- pour le cube, il y a 11 pat - pour le cube, il y a 11 patrons possibles pour le cube:

C’est d’ailleurs un très bon exercice que de chercher tous les patrons possibles d’un polyèdre donné. Exercice qui peut devenir assez difficile : il peut être assez compliqué de se représenter ces dépliages ou re-pliages dans l’espace, notamment pour des solides qui ont de nombreuses faces.

Pistes pédagogiques : parmi une liste de patrons on peut demander aux élèves de trouver ceux qui ne sont pas les patrons d’un polyèdre donné :

Le patron a un autre intérêt, il permet de prévoir à plat le coloriage des faces du polyèdre.

Pour colorier un solide on peut suivre plusieurs règles :
·    La plus simple : une seule couleur pour toutes les faces
·    Faire en sorte que deux faces adjacentes, c'est-à-dire qui partagent une même arête, ne soient jamais de la même couleur. Dans ce cas le patron est très utile, on peut alors chercher le nombre minimal de couleurs dont on a besoin
·    Faire en sorte que toutes les faces parallèles soient de la même couleur

Le coloriage peut donc amener des problèmes assez difficiles (Cf. W RouseBall & H.S.M.Coxeter - Bibliographie)

Par exemple, il faut au moins 4 couleurs pour colorier un tétraèdre, car chaque face partage une arête avec toutes les autres Par exemple, il faut au moins 4 couleurs pour colorier un tétraèdre, car chaque face partage une arête avec toutes les autres. (Cf. Figure 4)

Autre exemple : un cube colorié de trois couleurs a ses faces parallèles de la même couleur. (Cf. Figure 5)

Le problème le plus délicat est de recoller les arêtes. Pour cela il a plusieurs techniques :

Dans cette technique il n’y a pas de languette, on colle directement bord à bord les arêtes. Cette technique est très difficile, il faut être très méticuleux et patient. L' avantage de cette technique est que le patron a exactement la forme de ce que l’on veut obtenir.

Dans cette technique, qui est la plus utilisée, on ajoute une languette, et une seule, par arête à assembler. On a donc pour chaque arête à coller deux possibilités pour placer la languette. La forme de la languette ne doit pas gêner le montage. En théorie, elle doit avoir la même forme que la face sur laquelle on la fixe. En pratique, on la fait juste un peu plus petite. Il n’y a pas de contre-indication à ce que les languettes se chevauchent à l’intérieur du polyèdre, on recherche même ce chevauchement pour le collage de la dernière face.

Piste pédagogique : on peut demander aux élèves de trouver la position des languettes.

Astuce pour le montage de la dernière face : avant de monter la dernière face, je colle les languettes ensemble, ce qui a pour effet de rigidifier le solide avant de coller la dernière face.

Dans cette technique, on ajoute une languette à chaque arête libre sur le patron. Ceci permet une élaboration plus systématique d’un patron. Puis on colle les languettes ensemble ce qui engendre des nervures dans le polyèdre. L’avantage de cette technique est de rigidifier le solide obtenu. Attention! Ces nervures ne doivent pas se gêner dans l’intérieur du polyèdre.

Montage du tétraèdre régulier