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Cet ouvrage est issu d’un cours en première année à l’École Polytechnique. Il offre une introduction à trois des théories à la racine des mathématiques et recouvre une bonne partie du cursus de L3 à l’Université.
Qui ne connaît pas le solitaire ou le taquin ? Qui n’a jamais manipulé un Rubik’s cube ou tâché de reconstituer un puzzle, voire de juxtaposer les motifs d’un carrelage ou ceux de deux lais de papier peint ?
Certains élèves ne savent pas résoudre les problèmes qu’on leur pose. Certains trouvent des solutions, certes, mais elles sont pesantes, laborieuses. Et d’autres enfin, proposent des démonstrations lumineuses, généralement courtes et qui réjouissent l’esprit...
Nous nous intéresserons aux premières théories de la mesure élaborées à la fin du 19e siècle et nous les utiliserons pour distinguer le processus d’abstraction du processus de généralisation. En effet, nous retrouvons des généralisations dans les versions calculatoires de la mesure proposées par Peano (1887), Jordan (1892) et Lebesgue (1902). En 1898, Borel présenta une nouvelle façon de définir la mesure : au lieu de la définir par un calcul, la notion doit satisfaire une liste de propriétés. Cette nouvelle façon de définir une notion implique un changement d’attention de la part de Borel et ce changement lui permettra de « reconstruire » la notion dans le sens où certaines propriétés des versions calculatoires deviennent constitutives de la nouvelle notion.
Sur quoi repose la vérité des mathématiques ? Sont-elles inscrites dans la nature et indépendantes de l’esprit humain ou bien forment-elles un langage qui, forgé par l’homme, est nécessairement intelligible ?
Bienvenue à la maison Calvage & Mounet. Le chef cuisinier s'appelle Jean-Denis Eiden et sa bonne table est un passage incontournable pour les professeurs de mathématiques ou candidats à l'être. Rien que la lecture de la carte nous met l'eau à la bouche. Des grands classiques (théorème de Pascal, droite de Simson et ses cousines de Steiner et de Newton, théorème de Ptolémée) aux plus intriguants (points de Lucas, Gergonne ou Napoléon, théorème de Carnot, cercle d'Apollonius, involution de Désargues) il y a de quoi satisfaire les géomètres en herbe (au point de se demander si l'on a affaire à un livre d'histoire ou de mathématiques)...
Pour Cantor ceci n’est pas un axiome, mais un théorème. Actuellement, on le considère comme un axiome, puisque l'on étudie des corps « non-archimédiens ».
"Das Wesen der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit" (L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté). Cantor (1883).
Le mathématicien allemand Georg Cantor a révolutionné les conceptions de sa discipline dans la deuxième moitié du 19e siècle en inventant la théorie des ensembles. Sa correspondance avec des interlocuteurs français nous révèle bien des aspects peu connus de cette personnalité d'exception : son goût pour le débat philosophique, théologique, ainsi que son intérêt pour l'occultisme. Elle révèle aussi l'intensité des efforts qu'il a déployés en vue d'établir des relations scientifiques internationales impliquant en particulier Allemands et Français, dans la période de crispation qui suit la guerre de 1870-1871. La réussite du premier congrès international des mathématiciens à Zurich en 1897 en est la manifestation éclatante. La correspondance de Cantor avec des Français éclaire de manière inédite les relations scientifiques franco-allemandes dans les dernières décennies du 19e siècle.
