Fig. 6 : Manuscrit grec des Éléments d'Euclide (Livre XII)
Fig. 7 : Le temple d'Héphaïstos sur l'agora d'Athènes
Commentant le premier Livre des Éléments
d'Euclide, Proclus de Lycie se devait de préciser
l'époque où son auteur vivait. Il rapporte l'anecdote
suivante :
« On dit qu'un jour Ptolémée demanda à Euclide s'il n'y avait pas de voie plus courte que celle des Éléments
pour apprendre la géométrie. Et Euclide lui
répondit qu'en géométrie il n'y avait point de
voie royale ».
Euclide à Alexandrie
Certains exégètes, optimistes, en ont déduit que l'Auteur des Éléments
avait présenté son ouvrage au monarque, soit pour
solliciter ses faveurs, soit pour l'en remercier. Nous avons vu (chapitre 3),
avec Conon et Callimaque, que cela n'était pas impossible. A
partir de là, ils en ont déduit que
Ptolémée avait très probablement accueilli Euclide
dans son Musée … où celui-ci aurait, en quelque
sorte, fondé l'école mathématique d'Alexandrie.
L'histoire est séduisante, mais requiert toute notre
crédulité. Les bons esprits font remarquer que l'anecdote
— et sa fine allusion aux routes réservées
pour les courriers royaux — était devenue proverbiale et
que l'on en connaît une autre version, dans les mêmes
termes, à ceci près qu'elle met en scène Alexandre
le Grand et Ménechme de Proconnèse, disciple d'Eudoxe de
Cnide. De plus, il suffit de relire le passage de Proclus avec un peu
d'attention pour percevoir son embarras à dater Euclide. Il
affirme qu'Euclide était un peu plus jeune que les disciples de
Platon, mais antérieur à Archimède et
Ératosthène. Comme un siècle environ sépare
les naissances d'Aristote et d'Archimède, il utilise l'anecdote
pour faire d'Euclide un contemporain de Ptolémée I Soter.
Mais l'anecdote elle-même, qu'il a dû reprendre à
une source antérieure, ne précise pas de quel
Ptolémée il s'agit …
D'une manière quelque peu paradoxale, l'existence d'une
autre version de ladite anecdote permet d'en percevoir le sens. Il ne
s'agit pas d'enregistrer le souvenir d'une mémorable rencontre
entre deux personnages devenus célèbres. Elles sont
conçues (et l'on ne sait pas trop bien quand) pour construire
une chronologie fondée sur la contemporanéité des
savants avec des hommes illustres tels que les souverains. Car il n'y a
pas de doutes qu'Alexandre et Ménechme étaient
contemporains. On peut donc admettre qu'Euclide le fut de
Ptolémée, sans doute Soter, peut-être Philadelphe.
On aimerait être plus précis, mais nous ne savons rien de
la vie d'Euclide, de sa famille, de sa formation, en particulier des
maîtres qui furent les siens.
Nous ne connaissons même pas sa cité d'origine. Les
Modernes l'appellent souvent Euclide d'Alexandrie suggérant par
là que la capitale des Ptolémées fut sa patrie
d'adoption. Ils se fient à l'anecdote de Proclus mais aussi
à un second témoignage, transmis par le Livre VII de la Collection mathématique de Pappus, quand ce dernier présente le traité des Coniques
d'Apollonius et en commente la préface. Or, dans celle-ci, plus
précisément dans la préface au premier Livre,
Apollonius de Perge décrit, non sans fierté, le plan de
son ouvrage et, à propos du Livre III, il fait remarquer que,
chez Euclide, le lieu relatif à trois et quatre droites [voir Encart 1]
n'est construit ni correctement, ni complètement. C'est sans
doute là la plus ancienne mention d'Euclide dans la
littérature ancienne conservée et c'est une critique.
Pappus trouve la critique pas très fair-play et
marquée du sceau de l'ingratitude. Car si Apollonius a pu
dépasser l'Auteur des Éléments, c'est,
dit-il, parce qu'il avait longtemps étudié à
Alexandrie avec les disciples d'Euclide. On en déduit
généralement que ce dernier avait lui aussi
enseigné dans la capitale des Ptolémées.
Figure 1 - Frontispice de l'édition H. Billingley (1570)
[Cliquer sur l'image pour l'agrandir]
L'édition de H.
Billingley est l'une des premières éditions d'Euclide en
langue vernaculaire (l'anglais). Euclide y est encore
désigné comme le philosophe de Mégare, son
aîné d'un siècle environ. La confusion était
fréquente au Moyen-Age.
Il y a beaucoup d'homonymes chez les Grecs. Euclide
n'échappe pas à la règle. Au moins trois personnes
portant ce nom furent célèbres dans l'Antiquité :
un archonte (haut magistrat) athénien, à la fin du Ve s.
(avant J.C.), le philosophe Euclide de Mégare, disciple de
Socrate et Euclide le géomètre. Au Moyen Âge on
confondait fréquemment le philosophe mégarique et le
géomètre. Pour distinguer celui-ci les Anciens lui
accolèrent un surnom. Ils forgèrent le mot
"stoicheiôtês", qui signifie «l'auteur des Éléments»
(stoicheia ou stoicheiôsis), le titre du plus
célèbre des écrits d'Euclide, et qui devint son
sobriquet.
Figure 5 - Portrait d'Euclide par Juste de Gand (XVe s.)
En 1482 une recension
rédigée par Campanus de Novare vers 1260, à partir
d'une traduction arabo-latine des Éléments, est
imprimée à Venise, malgré la difficulté de
reproduire les diagrammes géométriques. C'est la
première des très nombreuses versions imprimées du
traité d'Euclide.
L"encyclopédie" mathématique d'Euclide
En confrontant différents témoignages,
nous pouvons dresser une liste de ses œuvres. La plus
célèbre est son recueil des Éléments,
en treize Livres, principalement consacrés à la
géométrie, mais qui incluent aussi trois Livres
d'arithmétique (au sens de la théorie des nombres) (voir
Encart 2 : la structure des treize Livres d'Éléments). Nous avons déjà évoqué le recueil (perdu) des Faux raisonnements ou Pseudaria (voir chapitre 2). Toujours en géométrie, nous possédons également un court traité intitulé Données, et une portion (conservée seulement dans des traductions médiévales) d'un ouvrage Sur la division des figures. Mais Euclide n'était pas seulement un géomètre : il rédigea aussi des Optiques, des Catoptriques (étude de la vision réfléchie par les miroirs), des Éléments de musique, des Phénomènes
(un court traité d'astronomie physique). Des fragments
conservés dans des traductions médiévales lui
attribuent une étude de la balance et une preuve (rudimentaire)
de la loi du levier.
Figure 3 - Manuscrit des Phénomènes d'Euclide
[Cliquer sur l'image pour l'agrandir]
Ouvrage d'astronomie
élémentaire envisagée de manière
géométrique et consacré aux levers et couchers de
certaines étoiles, en particulier à la variation de la
durée du jour en fonction du moment de l'année et de la
latitude du lieu.
Certaines attributions sont quelque peu douteuses, notamment celles des fragments mécaniques et des Catoptriques. Quant à la Division du canon
qui a été transmise sous son nom, nous ne savons pas
exactement quelles relations elle entretient avec l'ouvrage musical que
l'Antiquité lui reconnaissait. Cela dit, l'ensemble constitue
une sorte d'"encyclopédie" mathématique, composée
d'ouvrages portant sur les différentes disciplines reconnues
dans les classifications des sciences. En quelques décennies,
nous voyons donc des philosophes (pour l'essentiel platoniciens et
aristotéliciens) élaborer différents
systèmes de classification des sciences mathématiques,
Eudème de Rhodes rédiger l'histoire de trois d'entre
elles, et Euclide composer un ensemble de traités plus ou moins
élémentaires qui réorganisent et
synthétisent les connaissances antérieures dans ces
mêmes domaines.
Figure 4 - Instruments à cordes
Les trois intervalles
fondamentaux de la musique grecque étaient : l'octave, la quinte
et la quarte. Cette dernière est encore un intervalle assez
large (Do-Fa) qui fallait donc subdiviser. Il y a plusieurs
façons de le faire, d'où différents genres
musicaux, différentes manières d'accorder les
instruments. Le canon n'est pas un instrument de musique mais un
accessoire expérimental pour pratiquer ces divisions. Les
mathématiciens justifièrent les choix de certains genres
à l'aide de la théorie des rapports numériques
simples. Les Anciens attribuaient des Éléments de musique à Euclide. Une Division du canon a été transmise sous son nom.
Pour certains historiens modernes la réputation d'Euclide
est donc largement usurpée. Il s'agirait, au mieux, d'un
rédacteur de manuels ou d'un éditeur scientifique, au
pire, d'un simple compilateur, procédant à partir des
travaux des autres. Le jugement n'est pas
désintéressé : il s'agit de valider un mode de
lecture de ses traités, de les dépecer pour retrouver les
contributions originales de ses prédécesseurs, alors que
la forme même des écrits logico-déductifs rend
cette entreprise à peu près impossible. La cacophonie des
études qui prétendent procéder de cette
manière en témoigne.
Surtout ce jugement n'est pas très objectif. Il laisse de
côté les témoignages d'Apollonius et de Pappus, les
indications que nous avons sur des ouvrages perdus, notamment les Porismes, en trois Livres, les Lieux à la surface, en deux Livres, et peut-être des Éléments des coniques
en quatre Livres. Pappus affirme notamment que la théorie du
lieu analysé a été constituée, pour
l'essentiel, par trois auteurs : Aristée, Euclide et Apollonius.
Il s'agit cette fois de géométrie non
élémentaire, incluant, entre autres, la théorie
des Coniques, domaine de recherches très important et
novateur au cours du III e s et même au-delà. Qu'Euclide
ait travaillé sur les coniques est confirmé par la
critique d'Apollonius. Le portrait de l'auteur des Éléments
doit donc être nuancé : un géomètre
compétent, actif dans certains domaines "de pointe", mais aussi
manifestement très intéressé par la mise en forme
des exposés scientifiques et la rédaction d'ouvrages de
référence. Rien là de contradictoire ni d'unique
dans l'histoire des sciences mathématiques.
Que la gloire d'Euclide tienne aux Éléments
ne fait aucun doute. Et il y a au moins deux bonnes raisons à
cela ou plutôt, une bonne raison et une moins bonne. La
première est que son traité est une incontestable
réussite dans ce qui va devenir un genre littéraire que
désigne le titre : « éléments (de) …
». Ce genre tente d'articuler deux objectifs.
1. Fournir une synthèse des
connaissances "élémentaires" dans un domaine
donné, requises pour un "premier" apprentissage.
2. Incarner simultanément un modèle de
raisonnement, dans le cas qui nous intéresse, un paradigme du
raisonnement déductif et démonstratif.
Car le recueil d'éléments n'est pas la simple et
sèche compilation d'un fascicule de résultats; il fournit
une représentation architectonique de la discipline. La seconde
raison du succès d'Euclide, notamment éditorial, c'est le
plan plutôt singulier qu'il a suivi et qui sera jugé
sévèrement au Moyen Âge et à la Renaissance.
Il faut dire qu'à bien des égards, si l'on entreprend
l'étude du traité de manière continue, dans
l'ordre de succession des livres — ce à quoi nous incite
la structure déductive —, la progression euclidienne
paraît pédagogiquement assez désastreuse.
Figure 5 - Papyrus trouvé à Oxyrhynque: proposition 5 du Livre II des Éléments d'Euclide
[Cliquer sur l'image pour l'agrandir]
Oxyrhynque est une cité située au bord du
Nil à une soixantaine de kilomètres en amont du Caire. On
y a trouvé de nombreux papyri grecs, dont ce fragment des Éléments d'Euclide dont il est l’un des plus anciens, sinon le plus ancien témoin (voir Encart 3 «Histoire du livre grec ancien et transmission du texte d’Euclide»).
Initialement daté des IIIe-IVe siècles, on le situe
maintenant autour des années 100 de notre ère.
En cliquant sur la photo, le lecteur pourra observer deux phénomènes :
1) L ’écriture majusucle “continue” : les mots ne sont pas séparés et il n’y a ni ponctuation, ni accentuation.
La lecture d’un texte pour les Anciens (souvent à haute
voix) s’apparentait davantage à notre expérience de
déchiffrage d’une partition musicale qui ne porte
qu’une « partie » de l’information
requise pour l’exécution. Voici l’équivalent
français des deux lignes quasi complètes du
texte que l’on arrive à lire :
« … INEGAUXDELADROITEENTIEREPRISAVECLECARRESURLADROITECOMPRISE
ENTRELESPOINTSDESECTIONESTEGALAUCARRESURLAMOITIE … »
Le lecteur préférera probablement cette version de l’énoncé de II. 5 :
« Si une ligne droite est coupée en segments
égaux et inégaux, le rectangle contenu par les segments
inégaux de la droite entière pris avec le carré
sur la droite comprise entre les points de section est égal au
carré sur la moitié de la droite ».
2) Le diagramme, tracé à main levée et sans lettrage
(ce qui n’est l’usage ni des manuscrits byzantins, ni des
éditions modernes, ni d’ailleurs d’autres papyri
anciens).
Un autre intérêt de ces papyri concerne l’histoire du texte (voir Encart 3).
Ici, il semble bien que la fin de la Proposition II. 4 enchaîne
directement avec l’énoncé de II. 5. Autrement dit,
le corollaire à II. 4 que possèdent presque tous les
manuscrits n’existait pas dans cette version. Or, dans le plus
ancien manuscrit byzantin conservé, ce corollaire, copié
en marge seulement et par une main récente, n’existe pas
dans le texte principal : il est donc certainement inauthentique.
Les Éléments : un bon titre
La famille lexicale du mot grec "stoicheïon"
("élément") renvoie d'abord à l'idée de
"rang", de "file", de mise en ordre par alignement. L'expérience
de l'écriture alphabétique a durablement
impressionné les philosophes grecs. Des composants ultimes en
nombre relativement limité (moins d'une trentaine) suffisent
à constituer l'ensemble des syllabes, des mots et des discours.
La langue grecque les appelle aussi "éléments"
("stoicheïa"). Elle ne distingue pas toujours clairement s'il
s'agit des phonèmes du langage ou des lettres du système
d'écriture. Ce mode de composition d'un Tout à partir de
ses constituants élémentaires est projeté sur les
êtres naturels et les productions humaines.
Selon Platon, le monde est constitué de quatre
éléments : feu, air, eau, terre; Empédocle avait
été le premier à formuler cette théorie
sans toutefois utiliser le terme "élément". De
même, explique Aristote, en géométrie certaines
propositions se retrouvent dans la démonstration de beaucoup
d'autres; ce sont celles que l'on appelle "éléments" et
leur apprentissage est donc requis. Au départ la notion
paraît toute relative : tel théorème est
élément de tel autre. N'est "élément"
à proprement parler que ce qui intervient comme constituant dans
de nombreuses preuves. Sont donc exclues certaines propositions
élémentaires, simples et élégantes, mais
qui ne sont pas mobilisées dans beaucoup de
démonstrations. Proclus, commentant Euclide, donne comme exemple
le fait que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
On comprend donc que la constitution d'un recueil
d'éléments est à rapporter à un certain
état du domaine considéré, qu'elle suppose
l'accumulation de résultats significatifs suffisamment nombreux,
le repérage des propriétés ou des constructions
qui interviennent le plus souvent. Leur choix présuppose donc
une analyse préalable — au sens quasi chimique du terme
— pour déterminer les ingrédients essentiels, non
plus seulement en fonction de leur usage dans une problématique
déterminée, mais pour essayer de les articuler dans une
architecture déductive globale dont les qualités
principales seront la concision et la clarté. Ce travail
d'investigation préalable — qui a sûrement
connu plusieurs étapes et différents acteurs —
n'est pas présenté. L'exposition est
synthétique : elle procède déductivement des
hypothèses aux conclusions et, parce qu'il a bien fallu
interrompre le travail de décomposition à un certain
moment, il faudra poser des principes ou points de départ non
démontrés. Ces derniers sont en quelque sorte les plus
élémentaires des éléments. Clairement il
s'agit d'un procédé d'exposition d'une portion de science
déjà faite et non d'une méthode de recherche. Les
mathématiciens grecs l'ont particulièrement prisé
et outre les Éléments d'Euclide, y compris en musique, on connaît des Éléments des coniques,
attribués à Aristée, à Euclide et c'est
encore sous ce titre qu'Apollonius lui-même décrit les
quatre premiers livres de ses Coniques. Archimède se réfère à des Éléments de mécanique.
Ce qui a fait le succès de la démarche dans le
domaine de la géométrie, et plus
généralement en mathématiques, c'est la
possibilité de mener à bien cette remontée vers
des principes indémontrables. A cause de la simplicité de
ses points de départ, la rigueur de sa démarche,
l'irréfutabilité (au moins apparente) des conclusions
auxquelles il aboutit, le style more geometrico a
exercé une puissante fascination. Déjà dans
l'Antiquité certains ont donc entrepris de rédiger des Éléments d'éthique, de physique, de théologie …
Le prix à payer peut être élevé. La
présentation synthétique est, par définition,
historiquement et heuristiquement opaque. Celle d'Euclide est parfois
artificielle. La chose n'est pas bien grave tant qu'on l'étudie
sous la direction d'un maître compétent, lequel fournira
les explications complémentaires nécessaires. Il est
d'ailleurs possible que l'auteur des Éléments ait
conçu son recueil, non pas comme un manuel d'enseignement que
l'étudiant aurait dû lire de manière cursive, mais
plutôt comme un ouvrage de référence à
consulter intelligemment. Mais il deviendra un texte scolaire, soumis
au travail des enseignants et des commentateurs. Une de leurs
tâches sera d'affranchir le lecteur de la linéarité
déductive, de lui permettre d'anticiper, de connaître
l'origine des problèmes … Ce sera aussi
l'occasion de critiquer la progression euclidienne.
Les Éléments : un plan singulier
Le traité d'Euclide est l'un des écrits
mathématiques antiques parmi les plus importants quant à
la taille. Outre la structure déductive qui s'exerce localement,
il fallait donc en répartir la matière selon certains
critères. L'un des plus prégnants a consisté
à regrouper les résultats en fonction des objets
sur lesquels ils portent. On peut dès lors distinguer, à
la suite des Anciens, trois grands sous-ensembles : les Livres dits
plans, les Livres arithmétiques et les Livres
stéréométriques (voir Encart 2). Leurs objets fondamentaux respectifs sont : la figure plane, le nombre, et la figure solide.
La réduction en éléments,
caractéristique de la démarche euclidienne, conduit
à privilégier les plus simples des figures dont le
répertoire est par conséquent plutôt limité
dans les Éléments : les triangles,
carrés, rectangles, parallélogrammes et trapèze
dans les Livres I-II; le cercle et ses segments; dans le Livre III; le
Livre IV combine les deux aspects en traitant de quelques polygones
réguliers inscrits dans, ou circonscrits à, un cercle. A
l'autre extrémité, le Livre XIII se propose la
construction des cinq solides réguliers circonscrits par une
sphère. Les autres solides pris en considération sont les
parallélépipèdes et les prismes (Livre XI), les
pyramides, les cônes et les cylindres (Livre XII).
Figure 6 - Manuscrit grec des Éléments d'Euclide
[Cliquer sur l'image pour l'agrandir]
Il s'agit de la fin de la
preuve de XII. 12, la plus longue des Éléments. La
figure, très soignée, est placée à la fin,
avant le début de la Proposition 13. Les numéros des
Propositions précédentes utilisées en cours de
démonstrations que les Modernes font apparaître entre
parenthèses n'existaient pas dans le texte grec. En
conséquence une démonstration « à l'ancienne
» était autant un exercice de mémoire qu'une
entreprise logique. Beaucoup d'indications pour aider le lecteur ont
été introduites au fil du temps dans les marges des
manuscrits grecs. On les appelle "scholies". Ici, un lecteur ou un
correcteur (ce n'est pas la même écriture que le copiste)
a ajouté, dans la marge de gauche, une justification pour
renvoyer à la Prop. XII. 10 utilisée à cet
endroit. Souvent, certaines de ces scholies sont devenues des portions
(inauthentiques) du texte lors de ses copies successives. C'est le cas
pour cet ajout dans d'autres manuscrits des Éléments.
A l'issue de ce simple survol trois ou quatre traits peuvent
surprendre le lecteur, traits qui ont souvent été
perçus comme des anomalies.
1. L'ouvrage commence par la
géométrie, avant l'arithmétique,
généralement considérée comme la
première des sciences mathématiques car ses objets,
dénués de position, sont plus simples.
2. L'exposé de géométrie
plane est cependant interrompu par un Livre d'un autre genre, le
cinquième, dont on ne peut pas vraiment rendre compte en termes
d'objet. Il traite de relations entre objets, celles que l'on
appelle "rapport" et "proportionnalité". De plus ce Livre est
d'un niveau d'abstraction incroyablement élevé par
rapport à ce qui précède. La motivation qui
commande une telle sophistication (l'irrationalité) n'est
aucunement explicitée au niveau du Livre V lui-même.
3. Un autre Livre singulier, et ce pour deux
raisons, est le Livre X. D'abord lui non plus ne laisse pas bien
décrire en termes d'objets : on y trouve des lignes, des aires
et des nombres. En fait il traite également de relations, celle
de commensurabilité et d'incommensurabilité, au
départ considérées selon un point de vue
général puis particularisées pour des droites et
des aires rectilignes simples. Suit alors une classification
très impressionnante de droites et d'aires dites irrationnelles
— environ 90 Propositions, soit un cinquième de
l'ensemble du traité ! —, mais qui a été
vite perçue comme indigeste, d'autant qu'elle ne semble pas
justifiée par ses emplois ultérieurs.
4. On peut ajouter que l'exposé
stéréométrique s'achève par la comparaison
des cinq solides réguliers et que celle-ci paraît
incomplète.
Figure 7 - Le temple d'Héphaïstos sur l'agora d'Athènes
Exemple parfait de style
dorien hexastyle. Les différents ordres architecturaux se
distinguent par maints détails de construction et de
décoration. Un des points les plus importants qui les
différencient réside dans la pratique commune de
l'architecture modulaire. En théorie, toutes les dimensions des
parties du temple s'exprime en fonction d'une unité, ou module,
soit comme multiple, soit comme sous-multiple, les deux
catégories les plus simples de rapports numériques. Dans
l'ordre ionique le module est le diamètre de la colonne, dans
l'ordre dorique la moitié de ce diamètre. En
procédant de cette manière l'architecte garantit que
toutes les parties de sa construction seront commensurables. Ce qu'on
appelle la "summetria" recouvre à la fois un
procédé technique simple et une évaluation
esthétique. Dans la pratique, il faut adopter certains
aménagements dans les formes et les distances pour tenir compte
de certaines illusions d'optique.
Les deux théories des proportions
Voilà déjà de quoi nourrir critiques et commentaires. Mais il y a pire. Les Éléments
contiennent, non pas un exposé de théorie des
proportions, celui du Livre V, mais deux ! Le second se trouve dans les
vingt-deux premières Propositions du Livre VII. Par
conséquent certains résultats se trouvent
démontrés deux fois.
Ainsi la Proposition V. 16 établit que « si quatre
grandeurs sont en proportion, de manière alterne, elles seront
aussi en proportion », tandis que VII. 13 prouve que « si
quatre nombres sont en proportion, de manière alterne, ils
seront aussi en proportion ». Avec nos notations modernes nous
les transcrirons de la même manière :
« si A : B = C : D alors A : C = B : D »,
la notation A : B désignant le rapport de A : B, et le
signe = signifiant « être le même
que … ». Car « (A, B, C, D) sont en
proportion » ne signifie rien d'autre que « (A, B) sont
dans le même rapport que (C, D) ». La transcription efface
les différences; dans notre écriture symbolique les
lettres A, B, … peuvent désigner n'importe quel type
d'objets susceptibles d'entrer dans une proportion. Mais si le lecteur
reprend les énoncés anciens il constatera sans peine que
la différence entre V. 16 et VII. 13 réside
précisément dans le fait que la première porte sur
des grandeurs ("megethos" en grec), la seconde sur des nombres
("arithmos" en grec). Qui plus est, s'il lit ensuite les preuves
associées à nos deux énoncés
— ce que nous ne ferons pas ici — le lecteur verra
qu'elles sont tout à fait différentes. Elles reposent
notamment sur des définitions spécifiques de «
être en proportion », pour les grandeurs (Définition
V. 5-6) et pour les nombres (Définition VII. 21).
La notion de "nombre" est elle-même définie : il
s'agit d'une multitude déterminée d'unités,
autrement dit ce qui est utilisé pour faire une
énumération (et qui correspond plus ou moins à nos
nombres entiers naturels : 2, 3, 4, 5, …) Ni les fractions ni, a fortiori,
les nombres irrationnels n'ont de place dans l'arithmétique
grecque. Ce que recouvre la notion de grandeur est un peu moins clair.
Originellement il s'agit d'une des trois propriétés
fondamentales de la figure : sa taille. Euclide ne la définit
pas (à partir de quoi le pourrait-il ?). Mais on voit dans la
suite du traité qu'il subsume, sous ce terme, des lignes, des
surfaces, des volumes et des angles rectilignes. Autrement dit, il
l'envisage comme un objet géométrique abstrait,
indépendamment de ses dimensions. Aristote l'applique à
des temps, des poids … et autres grandeurs physiques. Il
explique que la différence entre "nombre" et "grandeur" est
constitutive : la seconde est indéfiniment divisible, tandis que
la division du premier s'arrête à l'unité.
Le mystère des deux théories des proportions
pourrait donc s'arrêter là : puisqu'il y a deux types
d'objets parfaitement distincts, le nombre et la grandeur, il est
naturel qu'il y ait deux théories des proportions. Mais il y a
un rebondissement : au début de son dixième Livre,
Euclide "démontre" que si deux grandeurs, A, B, ont une commune
mesure, leur rapport A : B, est celui d'un certain nombre M à un
nombre, N. Pour prendre un exemple métrologique, si A et B sont
deux longueurs et que A mesure 3 pieds tandis que B en mesure 5, le
rapport de A à B sera le rapport des nombres 3 à 5.
Là où nous ferions intervenir la fraction 3/5, les
géomètres anciens diront que A est à B comme 3 est
à 5. Autre manière de le dire : les rapports des
grandeurs commensurables s'identifient à des rapports de
nombres. Il ne faut pas confondre les nombres avec les grandeurs, ou
avec une certaine espèce de grandeurs, mais les relations entre nombres servent à exprimer les relations entre certains types de grandeur. Nos longueurs, dans l'exemple précédent, ont un rapport exprimable,
celui de 3 à 5. En revanche le côté et la diagonale
d'un même carré ont un rapport qui ne peut pas s'exprimer
immédiatement à l'aide des nombres (entiers) car ces deux
droites sont incommensurables. Pour nous, ce rapport correspond au
nombre irrationnel √2.
D'un point de vue moderne, le fait qu'une relation entre
grandeurs commensurables s'identifie à une relation entre
nombres correspond, très grossièrement, au fait que les
nombres rationnels positifs (nos fractions) constituent un
sous-ensemble des nombres réels (positifs). De là
à considérer que l'une des deux théories des
proportions d'Euclide, celle du Livre VII, n'est qu'un cas particulier,
redondant, de la première, il n'y a qu'un pas. Il est franchi
dès le XVI e s. : différents auteurs, notamment Francesco
Maurolyco et Gilles-Personne de Roberval, proposeront l'unification de
ces deux théories en une seule.
La lecture archéologique des Éléments
A la fin du XIX e s., en mobilisant les quelques
singularités dont nous venons de parler, les historiens vont
élaborer une grille de lecture des Éléments
particulièrement astucieuse. Pour ce faire, ils formulent une
hypothèse qui est en quelque sorte la projection, dans le
passé, de ce qu'une partie des mathématiques connaissait
alors : une crise dite des fondements, liée aux paradoxes
émergeant dans la formalisation de la toute récente
théorie des ensembles.
Ces historiens ont postulé, de manière analogique,
que la découverte de grandeurs incommensurables avait
entraîné le même genre de "crise". Auparavant les
géomètres anciens, présupposant que toutes les
grandeurs étaient commensurables, auraient utilisé une
théorie des proportions simple. Nous en trouverions la trace
dans l'actuel Livre VII. Après la découverte de droites
incommensurables, mettant en évidence les failles de ladite
théorie, il s'en serait suivi une période dans laquelle
on aurait évité de recourir à la théorie
des proportions. Nous en aurions la confirmation dans nos Livres I
à IV. Puis une nouvelle théorie aurait été
mise au point, celle du Livre V, que l'on attribue
généralement à Eudoxe de Cnide, un contemporain
d'Aristote, s'appliquant aussi bien aux grandeurs commensurables
qu'incommensurables, quand bien même c'est seulement dans le
Livre X que la distinction entre grandeurs commensurables et
incommensurables est introduite. Celle-ci justifie, a posteriori,
le traitement sophistiqué du Livre V. Euclide aurait
appliqué la théorie eudoxienne aux figures planes dans le
Livre VI et aux solides dans les Livres XI à XIII. Il aurait
cependant maintenu une portion de l'ancienne théorie dans son
Livre VII.
Il faut donc supposer soit qu'il n'est qu'un simple compilateur
reprenant, non pas seulement des résultats établis
antérieurement, mais des Livres complets ou des séquences
entières à ses prédécesseurs, soit qu'il
avait un intérêt d'historien, soucieux de conserver la
trace du passé de sa discipline. Aucune de ces deux
hypothèses n'est très convaincante. Si cette lecture
archéologique a stimulé les études euclidiennes
pendant plus d'un siècle, elle est moins en faveur aujourd'hui.
Il n'y a en effet, dans les sources des V e-IV e siècles, aucune
trace d'une quelconque "crise des fondements" que les
mathématiques grecques aurait connue, si tant est qu'on ait
déjà tenté de les fonder avant le IV e
siècle. Au contraire, cette époque est celle de leur
développement rapide.
Quant aux singularités du plan euclidien, on peut
parfaitement les expliquer autrement. Nous avons déjà vu
ce qu'il en était pour le double traitement de la
proportionnalité : les Anciens, à la différence
des Modernes, privilégient les objets sur les relations que ces
objets entretiennent. Et puisqu'il y a deux types d'objets, il est
légitime d'avoir deux théories des proportions,
même si le but est ensuite de voir quand on peut les coordonner
(cas des grandeurs commensurables) et quand cela ne se peut pas (cas
des grandeurs incommensurables).
En outre la lecture attentive du traité montre que
l'insertion d'une Proposition, d'une séquence (voire d'un Livre
entier) se fait, autant que faire se peut, le plus près possible
de l'endroit où celles-ci sont utilisées. C'est pourquoi
Euclide insère le Livre X là où il est, avant le
traitement de solides, car le seul usage des irrationnelles se trouve
dans le Livre XIII. Et c'est donc la raison pour laquelle
l'introduction de la distinction « commensurables /
incommensurables » est différée jusque-là.
De même, les Livres arithmétiques n'intervenant que dans
le Livre X, sont insérés juste avant. Autrement dit, bien
qu'il y ait un intérêt spécifique pour
l'arithmétique dans les Éléments, les
Livres VII à IX existent d'abord à cause de leur usage
instrumental dans l'étude de l'irrationalité. On peut
bien commencer le traité par de la géométrie.
Enfin Euclide se conforme à une attitude qui, selon
Aristote, est propre aux mathématiciens : dans une science
démonstrative les principes non démontrés que l'on
utilise doivent être les moins nombreux possibles. Si donc il n'y
a pas besoin de la théorie des proportions entre grandeurs et de
ses difficiles Définitions pour établir certains
résultats non triviaux, alors on doit s'en passer. D'où
le regroupement de tels résultats dans les Livres I à IV,
alors que le sixième Livre s'occupe de notions, notamment celle
de similitude des figures, pour lesquelles le recours à la
théorie des proportions est inévitable. Euclide pousse
cette attitude assez loin puisqu'il regroupe, dans les 28
premières Propositions de son Livre I, celles qui ne
dépendent pas de sa cinquième demande ou postulat des
parallèles.
On peut même penser que cette attitude explique en partie
pourquoi la stéréométrie euclidienne est si mal
fondée. Plusieurs des premières Propositions du Livre XI
(1, 2, 3, 7) ont des preuves très incertaines. Apparemment
Euclide était persuadé de pouvoir réduire
logiquement la stéréométrie à la
géométrie plane, sans introduire de nouveaux postulats.
L'exposé d'Euclide est donc très loin d'être
parfait. Mais les singularités de sa structure ne s'expliquent
pas, ou peu, par l'histoire des mathématiques
préeuclidiennes comme le croyent les partisans de la lecture
archéologique; elles résultent des choix
mathématiques et épistémologiques du Stoicheïotês.
