Au concours des Dyonisies de 414, juste après la
catastrophique expédition de Sicile qui allait peser lourd dans
la défaite d'Athènes face à Sparte, Aristophane
présente une comédie pleine de fantaisie qui lui vaudra
le deuxième prix. Le thème en est la fondation d'une
cité nouvelle par … les oiseaux. Ce genre
d'expérience était commun pour les Grecs, qu'il s'agisse
de réguler la démographie, de résoudre certains
problèmes sociaux ou d'installer des "colonies" dans des
positions géographiquement avantageuses. Les fondateurs de
Coucouville-les-Nuées voient donc arriver techniciens et
charlatans en tout genre venus offrir leurs services pour l'occasion.
Aristophane aime à se moquer des nouveaux intellectuels qui
fréquentaient alors Athènes, de leurs tenues excentriques
et de leurs recherches absconses. Socrate en avait fait les frais dans
les Nuées.
[Représentations de masques - théâtre de Myra - Turquie - Photos C. Proust]
Ici c'est le géomètre et astronome Méton
d'Athènes qui se fait épingler. Méton était
connu pour sa détermination du solstice d'été en
432 et sa proposition de réforme du calendrier, laquelle, selon
Aristophane, avait indisposé la Lune elle-même. Ici le
géomètre propose de partager l'air en lots —
n'oublions qu'il s'agit d'une cité des oiseaux — à
l'aide des instruments classiques du géomètre,
règle et compas, et d'établir un plan de la cité
selon la norme des nouveaux urbanistes. La loi du genre
"comédie" veut que l'on grossisse le trait et le poète
multiplie les oxymorons : Méton utilisera des règles
courbes (mais le mot grec implique la notion de rectitude) et rendra le
cercle carré.
Il se peut qu'il y ait là une allusion au
célèbre problème de la quadrature du cercle que
sans doute peu de spectateurs entendirent. Mais la question, dit-on,
mobilisait les philosophes de l'époque. Plutarque affirme
qu'Anaxagore de Clazomènes — le maître de
Périclès — écrivit quelque chose sur la
question lorsqu'il fut jeté en prison (vers 433). Aristote
mentionne également des tentatives — selon lui
irrespectueuses des principes même de la géométrie
— par Antiphon puis le sophiste Bryson.
De quoi s'agissait-il exactement ? De justifier l'existence d'un
carré égal en aire à un cercle en
considérant qu'un cercle étant donné, puisqu'il y
a clairement des carrés plus petits et d'autres plus grands, il
doit exister, en quelque sorte par continuité, un carré
égal ? La question peut paraître naïve, mais si
on raisonne en termes philosophiques "carré" et "cercle"
appartiennent à des genres différents et rien ne garantit
que la surface, une propriété qui admet le plus et le
moins, puisse prendre n'importe quelle valeur, indépendamment de
la forme qui la reçoit. Dans un registre comparable, au IVe
siècle, Aristote, dans sa Physique, affirme que la circonférence du cercle et la droite ne sont pas comparables quant à la longueur !
La manière dont les géomètres pose le
problème est plus circonscrite : un cercle étant
donné, il s'agit de fournir une procédure pour
déterminer explicitement le carré — ou son
côté — équivalent en aire au cercle. Bien
entendu cela suppose aussi que l'on sache quelles données
relatives au cercle nous devons posséder pour pouvoir
déterminer ce carré équivalent. Si le
diamètre et la circonférence sont
donnés, la question est relativement simple, mais si le
diamètre (ou le rayon) seul est connu, elle l'est beaucoup
moins. Ainsi le cercle, figure simple quant à la forme et
à son tracé, peut soulever des problèmes d'une
difficulté devenue proverbiale.
Des quadratures
Pour exprimer cette équivalence on utilise le terme
"quadrature", littéralement « rendre carré
». Réaliser la quadrature d'une aire est manifestement un
problème théorique, en fait la transposition d'une
question pratique fondamentale : « quelle est la surface de tel
domaine ? ». Transposition abstraite, car on ne soucie ni des
unités de mesure utilisées (on sait que dans
l'Antiquité celles-ci variaient d'une cité à
l'autre), ni de savoir si l'on pourra exprimer le côté du
carré équivalent. Compte-tenu de l'échelle
numérique limitée dont disposaient les Anciens, ceci
n'allait pas de soi, mais la formulation en terme de quadrature
— de cubature pour les volumes — court-circuitait la
difficulté. En fait il n'est pas très difficile de
montrer que toute figure rectiligne (rectangles, trapèzes,
polygones …) est équivalente en aire à un certain
carré, c'est-à-dire quarrable. Mais si la figure
possède des éléments courbes la question est plus
difficile.
Dans ce registre Hippocrate réussit un tour de force :
1. d'une part, il réalise la
quadrature de trois lunules, c'est-à-dire des portions de cercle
comprises entre deux circonférences sécantes de
même convexité (voir encart 2: la quadrature des lunules),
2. d'autre part, il fait celle d'une
certaine lunule et d'un certain cercle, pris ensemble. Pour comprendre
l'intérêt de sa démarche reportons-nous à ce
qu'en dit Aristote dans ses Premiers Analytiques. Il explique
ce qu'est la réduction d'un problème : elle ne permet pas
d'atteindre la solution, mais de s'en rapprocher.
En substance, puisque nous savons que toute figure rectiligne est
quarrable, si, entre le cercle et une certaine figure rectiligne, on
sait intercaler un seul "intermédiaire", par exemple, la somme
d'un cercle et d'une lunule, nous nous serons rapproché de la
solution du problème de la quadrature du cercle.
Allons un petit peu plus loin : Hippocrate a réussi à quarrer un cercle et une certaine lunule (2); si cette lunule faisait partie des trois dont il a fait la quadrature "en solitaire" (1),
alors le cercle se trouverait quarré car il est facile de
montrer que la différence de deux aires quarrables est
quarrable. Malheureusement ce n'est pas le cas : la lunule
combinée avec le cercle est différente des trois autres.
Cela dit, pour parler comme Aristote, reconnaissons qu'Hippocrate s'est
rapproché de la solution. Il est le premier
géomètre grec que nous connaissions à avoir
réussi la quadrature d'aires non rectilignes.
La critique d’Aristote
Jean Philopon, on s'en souvient, avait inséré son anecdote sur Hippocrate au cours de son commentaire à la Physique
d'Aristote. La raison en était tout simplement que ce dernier,
au début de son traité, expliquait qu'il est inutile de
vouloir réfuter les auteurs qui, dans un type d'étude
donnée, n'en respectent pas les principes fondamentaux, par
exemple les Éléates en ce qui concerne la physique. Il
ajoutait, à titre d'exemple, que réfuter la quadrature du
cercle à l'aide des segments relève du travail du
géomètre, mais que ceci ne vaut pas pour la tentative
d'Antiphon. Bien entendu Aristote, comme souvent, ne donne pas de
détails, ce qui offre à ses commentateurs l'occasion de
prouver leur érudition. Ainsi Philopon identifie le
géomètre qu'il croit responsable d'une (fausse)
quadrature du cercle, Hippocrate de Chio. Il admet aussi que la
quadrature à l'aide des segments n'est autre que celle «
à l'aide de la lunule » (sic). Il a
certainement raison sur le second point car les constructions
d'Hippocrate utilisent bel et bien la notion de segment de cercle (voir encart 1).
Quant à l'idée qu'Hippocrate prétendait avoir
réussi la quadrature du cercle, en faisant croire, semble-t-il,
qu'il avait fait la quadrature de toutes les lunules,
Philopon la reprenait à ses prédécesseurs, voire
à Aristote lui-même. Celui, dans ses Réfutations sophistiques,
mentionne en effet, dans la même phrase, un paralogisme
d'Hippocrate et la quadrature par les lunules. Il s'agit d'une
discussion de fausses preuves qui, contrairement aux sophismes, sont
conformes aux principes techniques de la géométrie.
L'accusation est-elle légitime ? La sophistication des
procédures mathématiques du géomètre de
Chio exclut qu'il se soit trompé lui-même. Faut-il donc
supposer que le premier géomètre que nous connaissions un
tant soit peu était non pas un niais mais un filou ? Ou bien
faut-il supposer qu'Aristote, un des premiers Grecs à disposer
d'une riche bibliothèque privée, lui qui incitait
Eudème à écrire une histoire de la
géométrie, était mal informé ? Ou encore
que, tout en étant le premier à élaborer une
théorie (générale) de la démonstration, il
n'ait pas compris ce que faisait Hippocrate ?
Toutes ces portes de sorties sont bien difficiles. Quoi qu'il en
soit, le caractère allusif des assertions d'Aristote eut une
heureuse conséquence : au VIe siècle de notre ère,
son commentateur Simplicius, constatant le désaccord des
exégètes antérieurs, se reporte à
l'histoire de la géométrie d'Eudème,
précisément à son deuxième Livre. Il
affirme qu'il le citera fidèlement car c'est un témoin
proche de l'époque des faits. Il se contentera d'ajouter
quelques explications complémentaires, utiles pour ceux qui ne
sont pas familiers avec le style concis que pratiquaient les anciens
géomètres.
Le fragment ainsi transmis — l'un des plus importants
témoignages qui nous soit parvenus sur la
géométrie préeuclidienne — est
extrêmement précieux. Il confirme qu'Hippocrate n'avait
certainement pas perdu tout espoir de résoudre la quadrature du
cercle par les lunules. Celui-ci avait en effet réussi, insiste
Eudème, à quarrer trois lunules dont les
circonférences extérieures étaient respectivement
: (i) égale à un demi-cercle, (ii) plus grande qu'un
demi-cercle, (iii) plus petite. Le fait d'être quarrable, pour
une lunule, a donc une certaine forme d'universalité; ce n'est
pas réservé aux lunules plus petites ou égales
à un demi-cercle par exemple. Mais, bien entendu, cela ne
signifiait pas, loin s'en faut, que l'on ait réussi la
quadrature de toute lunule comme le suggère Eudème (ou
Simplicius ?). En fait il n'existe que cinq lunules quarrables, mais
cela a été établi beaucoup plus tard (M. J.
Wallenius, 1766).
Que dire de l'accusation de paralogisme ? Risquons une (pure)
conjecture. Dans son commentaire, avant de citer l'autorité
d'Eudème, Simplicius rapporte les explications de son
prédécesseur Alexandre d'Aphrodise (IIe siècle).
Celui-ci disposait manifestement d'une autre source, très
simplifiée, pour ce que l'on rapportait à Hippocrate :
1. La quadrature (solitaire) d'une unique lunule (la plus simple).
2. une version (très
simplifiée) de la quadrature de la combinaison d'un demi-cercle
et d'une autre lunule. Alexandre affirmait que le cercle serait donc
quarré par soustraction.
Il existait donc deux versions
divergentes relatives au travail d'Hippocrate. Deux autres points
doivent être notés. D'une part, lorsqu'il mentionne le
paralogisme d'Hippocrate, Aristote se réfère à des
« Pseudographêmata »; d'autre part, Proclus
explique qu'Euclide avait écrit un recueil de "pièges"
géométriques pour compléter les Éléments
et destiné à mettre en garde les apprentis
géomètres contre les erreurs possibles. Il précise
que cet ouvrage s'intitulait Pseudaria, mais d'autres auteurs l'appellent Pseudographêmata.
Mon hypothèse est que cette dualité
pédagogique : recueil d'éléments véridiques
— anthologie de pièges est plus ancienne que l'Alexandrin.
Peut-être remonte-t-elle même à Hippocrate. A partir
de son étude rigoureuse des lunules, s'inscrivant dans la
thématique de la réduction des problèmes —
et c'est ce dont nous avons l'écho dans les Premiers Analytiques
—, lui-même, ou l'un de ses successeurs, en avait
dérivé une fausse quadrature du cercle par le biais des
lunules, "pseudographêma" auquel font allusion les Réfutations sophistiques.
Il n'y a aucune raison de supposer qu'Aristote s'y soit trompé.
Lui et ses auditeurs pouvaient bien distinguer les deux traitements,
d'où les nuances perceptibles entre ses différents
témoignages. En revanche les commentateurs
— n'oublions pas qu'un demi millénaire sépare
Aristote et Alexandre — n'ont plus vraiment les moyens de faire
la différence : Alexandre et Philopon se font prendre;
Simplicius, perplexe, compile les comptes-rendus divergents.
La réduction d’un problème
Ajoutons encore une chose : que l'objectif d'Hippocrate
était de réussir une réduction, de se rapprocher
de la solution, nous en avons en quelque sorte la confirmation à
propos d'un autre célébrissime problème de la
géométrie grecque, celui de la duplication du cube :
«construire un cube double d'un cube donné» (voir encart 3).
Deux anecdotes (au moins) prétendent en restituer l'origine :
l'une, composée par un Tragique (inconnu), mettait en
scène Minos voulant doubler le tombeau cubique projeté
pour Glaucos; l'autre figurait dans le Platonicos
d'Ératosthène. Les Déliens, accablés par
une pestilence, consultent l'oracle d'Apollon qui leur enjoint de
doubler son autel. Leurs architectes, incapables de résoudre le
problème, s'adressent alors à Platon. Celui-ci leur dit
que le Dieu leur reproche de négliger la
géométrie. Plusieurs auteurs rapportent ces histoires,
notamment Proclus et Eutocius qui, à la suite
d'Ératosthène, affirment qu'Hippocrate fut le premier
à réduire ce problème à celui de
l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre une droite et son
double. C'est sous cette forme généralisée :
« insérer deux moyennes proportionnelles entre deux
droites données (et plus seulement une droite et son double)
» que la question sera désormais étudiée.
Hippocrate ne l'a pas résolue lui-même, mais Eutocius
rapporte une bonne dizaine de solutions (voir encart 3)
dont l'une, instrumentale, est attribuée à Platon ! La
réduction d'un problème à un autre,
première forme de démarche analytique, était donc
caractéristique de la géométrie d'Hippocrate.
Au-delà de toutes ces incertitudes, le fragment
d'Hippocrate-Eudème a un intérêt majeur : il montre
que, dès cette époque (celle d'Hippocrate ou celle
d'Eudème, c'est ce que nous ne pouvons pas vraiment trancher),
le style de l'exposé géométrique est proche de
celui que nous trouverons ensuite dans les Éléments d'Euclide et chez les géomètres alexandrins. Ils partagent notamment deux traits : 1. La démarche hippocratique est démonstrative. 2.
Elle articule, de manière étroite, un texte justificatif
et un diagramme pourvu de lettres. Non pas un croquis muet,
suggérant simplement des formes comme certains motifs
décoratifs, mais une figure dont les
éléments : sommets, côtés, angles, arcs
de cercle sont désignés grâce à des lettres.
Elle fait voir l'état final d'une construction dont les
étapes peuvent être décrites (et justifiées)
dans le texte associé, précisément grâce
à ce lettrage. Ce procédé, si simple et familier
pour tous les écoliers, est caractéristique de la
géométrie grecque ancienne.
Sans doute est-il lié à la volonté de faire
circuler le résultat mathématique par écrit. Dans
une situation orale, on peut effectivement montrer telle ligne, pointer
tel angle du doigt, parler du point "en bas", "du cercle à
gauche", de la "grande" droite … Il suffit, pour s'en
convaincre, de se reporter au Ménon et à
l'interrogation du jeune esclave par Socrate. Ce dernier lui fait
résoudre le problème de la duplication du carré
pour confirmer sa théorie de la connaissance comme
réminiscence. Le raisonnement est conduit sur une figure, sans
doute tracée sur le sol, sans lettrage, et le texte abonde en
déictiques (cet espace, celui-ci, cette surface, celle-là, ces lignes-là, ces lignes-ci, cette ligne, ce côté, cet autre-ci, ce troisième, ce
coin …). Mais un texte géométrique
rédigé seulement à l'aide de telles indications
est difficilement compréhensible en dehors d'un échange
interpersonnel. La possibilité de compliquer les constructions
serait également vite limitée. Celles des lunules ne sont
déjà plus tout à fait élémentaires
(voir encart 2: les lunules d'Hippocrate).
Puisque la progression d'Hippocrate est démonstrative, il
lui faut poser un principe comme point de départ. Selon
Eudème, il s'énonçait de la manière
suivante : «les segments de cercle semblables ont, l'un à
l'autre, le même rapport que celui des carrés
décrits sur leurs bases». Il ajoute que ce principe,
à son tour, se démontrait (peut-être dans le
recueil d'éléments qu'on attribue à Hippocrate)
à partir d'un théorème : « les cercles
ont, l'un à l'autre, le même rapport que celui des
carrés décrits sur leurs diamètres ».
Autrement dit, si le diamètre d'un cercle est double d'un autre,
sa surface sera quadruple de celle de l'autre; s'il est trois fois
moindre, l'aire sera neuf fois plus petite. Ces exemples
numériques sont faciles à comprendre, mais le
résultat général n'est pas si facile à
prouver. Pour s'en convaincre il suffit de lire la Proposition 2 du
douzième (!) Livre des Éléments d'Euclide qui en fait la démonstration. Malheureusement nous ne connaissons pas la preuve d'Hippocrate.
Une géométrie des figures
En outre le fragment d'Eudème suggère un fait que
confirmerait la lecture d'autres textes : l'objet fondamental de
cette géométrie est la figure, ses éléments
constitutifs (sommets, angles, côtés, faces ou surfaces
limitantes dans le cas des solides) et ses propriétés. Ce
n'est pas l'espace et ses transformations comme chez les Modernes. Si
l'on utilise le langage d'Aristote — mais beaucoup d'Anciens
le critiquèrent —, la géométrie est une
sorte de "physique" abstraite : on examine les choses, d'abord en les
"isolant" les unes des autres, en les considérant en soi, et en
faisant abstraction de certaines données : leur couleur, leur
dureté, leur poids, la matière qui les
compose …, pour ne retenir que trois
propriétés : leur forme, leur taille (les
géomètres disent "grandeur") et leur position (être
ici ou là). En toute généralité, du moins
dans les classifications des philosophes, la géométrie
envisage des figures immobiles. Utiliser et, pour ce faire,
géométriser, le mouvement sera l'un des grands
problèmes épistémologiques qu'affronteront les
Anciens avec un succès très relatif.
Bien entendu on ne peut pas se contenter de ce point de vue substantiel.
Il faut aussi comparer les figures entre elles, par exemple quant
à la forme : elles seront semblables ou non, quant à la
grandeur : nous en avons vu un exemple avec l'équivalence en
aire qui intervient dans les questions de quadrature, ou encore quant
à la position : telle droite est tangente à tel cercle;
un polygone est inscrit ou circonscrit à un cercle … La
géométrie ancienne, en particulier dans ses
exposés systématiques tels les Éléments d'Euclide, maintiendra cette dualité entre objets d'une part et relations entre objets d'autre part.
Cette manière d'aborder les choses détermine aussi
le type de questions que l'on se pose à leurs sujets. Comme nous
l'avons vu, Hippocrate entreprend de résoudre, ou du moins de
réduire, des problèmes. Leur résolution
est l'activité fondamentale du géomètre et, plus
généralement, du mathématicien ancien. Ainsi en
astronomie, il s'agit de rendre compte de ce qui se montre dans le
ciel, les phénomènes : déplacement des levers et
des couchers du soleil sur l'horizon entre les tropiques, phases de la
lune, éclipses, variations de la longueur du jour et de la nuit
en fonction du moment de l'année ou de la latitude du lieu,
mouvement complexe des planètes (notamment leurs stations et
rétrogradations apparentes) … En mécanique, il
faut expliquer pourquoi et comment on peut mouvoir un grand poids
à l'aide d'une petite force. La question fondamentale de
l'harmonique est que certains intervalles musicaux tels l'octave, la
quarte et la quinte sont consonants et d'autres, comme le ton, ne le
sont pas. Dès lors comment faut-il subdiviser la quarte ?
… Les grands problèmes induisent un lien intellectuel qui
va au-delà des relations interpersonnelles entre
mathématiciens contemporains. Quand bien même une partie
seulement de la communauté savante s'y intéresse, un
grand problème affectera la manière dont certains
domaines se développeront. Il suggèrera certaines pistes
de recherche, en occultera d'autres, sera l'occasion de mettre au point
des méthodes utiles pour d'autres questions. Sa
résolution supposera parfois de longues recherches, une patiente
accumulation de résultats intermédiaires qui, dans le cas
de la géométrie, constituent bon nombre des
théorèmes consignés dans les recueils
d'éléments.
Dans ce domaine, l'une des catégories fondamentales de
problèmes est la construction de figures, ou la
détermination de lignes, devant satisfaire certaines conditions.
Certaines sont fort simples : trouver un carré double d'un
carré donné, d'autres comme ceux que nous avons
évoqués à propos d'Hippocrate : trouver un cube
double d'un cube donné, un carré équivalent en
aire à un cercle donné; exhiber deux droites moyennes
proportionnelles entre deux droites données sont bien plus
difficiles. De fait il faudra réfléchir aux moyens que
l'on s'autorise à employer pour les résoudre. D'où
des conséquences globales sur l'organisation de la
géométrie : quelles sont les constructions
élémentaires autorisées ? Comment en
déduire les autres manipulations possibles sur les figures ?
…
La « boite à outils » du géomètre
Le cas le mieux connu est celui des premiers Livres des Éléments
: en introduisant trois postulats Euclide s'autorise à tracer
une droite de tout point à tout point, de la prolonger et de
tracer un cercle de centre donné passant par un autre point
donné. A partir de là, il entreprend de construire les
figures simples, triangle, carré … et d'indiquer comment
tracer une perpendiculaire, une parallèle à une droite
donnée, comment bissecter un segment, un angle rectiligne
…, bref tout ce qui constitue la "boîte à outils"
du géomètre. On dit que la géométrie plane
d'Euclide procède « à la règle et au compas
», quoiqu'il n'y ait évidemment pas de mention
d'instrument dans ses postulats.
Il n'est pas sûr du tout, il est même fort peu
probable, qu'un tel réductionnisme ait déjà fait
sentir ses effets à l'époque d'Hippocrate. Ainsi, dans la
construction de sa troisième lunule, Hippocrate place la ligne
EF, de longueur donnée, de telle manière que le point E
soit sur la circonférence de diamètre AB, le point F sur
la droite CD et que EF, prolongée, passe par B (voir Encart,
figure 5). Les géomètres anciens appellent "neusis"
(inclinaison) ce genre de construction. Hippocrate ne donne pas
d'explication. On peut montrer que cette construction
préliminaire est réalisable « à la
règle et au compas », mais on peut aussi imaginer
qu'Hippocrate s'autorisait l'usage d'un autre instrument : une sorte de
règle graduée coulissante sur laquelle on pouvait marquer
une longueur donnée et la placer ensuite selon les conditions
requises de position. L'idée sera reprise par d'autres
mathématiciens, notamment Nicomède, dans son étude
des conchoïdes.
Machine à tracer des conchoïdes décrite par Nicomède
Cet instrument complète la règle et le
compas et permet les construction appelées « neusis
». Le "point" E est astreint à rester sur la rainure AB,
de même que ∆ glisse sur l'incision H Q . Quand on incline la
règle KZ, soit vers A, soit vers B, la droite EK de longueur
fixe donnée est telle son prolongement passe toujours par un
point de l'axe vertical de l'instrument GD . La ligne LMN,
décrite par un stylet placé en K admet AB comme
asymptote. Elle est appelée « conchoïde
première » par Nicomède qui s'en servait pour
résoudre, par neusis, le problème de l'insertion de deux
moyennes proportionnelles entre deux droites données.
Les géomètres anciens vont comprendre
— sans pouvoir le démontrer — qu'il y a des
problèmes de complexité variée qui réside
dans les moyens mis en œuvre pour leur résolution. Au IVe
siècle de notre ère, Pappus d'Alexandrie nous rapporte
une classification des problèmes selon trois classes, en
fonction des lignes qu'il faut utiliser pour les résoudre. Il
distingue les problèmes dits "plans", résolubles
grâce aux combinaisons de droites et de cercles (comme dans la
géométrie plane d'Euclide), les problèmes solides
qui requièrent l'utilisation d'une ou plusieurs coniques et
enfin les problèmes dits grammiques dont la résolution
fait appel à des courbes encore plus complexes (ce qui implique
que l'on sache comment construire ces lignes).
Il semble bien que cette répartition, de fait empirique,
remonte à l'époque hellénistique (peut-être
est-elle due à Apollonius de Perge). Il est quand même
très frappant de constater qu'Hippocrate est le premier auteur
auquel on attribue des Éléments (limités aux problèmes plans ?) et qu'il se soit attaqué à la résolution de la duplication du cube
et de la quadrature du cercle. Ces problèmes ne sont pas
solubles « à la règle et au
compas » : l'un est un exemple de problème
"solide", l'autre de problème "grammique". Les
géomètres alexandrins édifieront leurs monuments
sur ces fondations hippocratiques.
