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Il est ici question d'un théorème peu connu de G. Polyà, résultat qui fournit une méthode systématique pour dénombrer les coloriages possibles d'un ensemble sous l'action d'un groupe. De tels problèmes peuvent être posés de façon extrêmement simple : par exemple, combien peut-on faire de colliers différents si l'on dispose de 10 perles noires et de 3 perles rouges ?

Depuis l'antiquité grecque, l'un des problèmes les plus fameux en mathématiques est de savoir quels sont les figures, et de manière plus générale les nombres que l'on peut construire à la règle et au compas, partant de deux points du plan qui définissent l'unité de longueur. Les réponses à ces questions sont désormais assez complètes, mais il a fallu attendre plus de deux millénaire pour cela.

Comment gagner à coup sûr au jeu de Nim ? Peut-on gagner à coup sûr aux échecs ? Ou bien est-ce qu'au contraire deux ordinateurs infiniment puissants jouant l'un contre l'autre aboutiraient nécessairement à une partie nulle ? Toutes ces questions tournent autour de la notion de stratégie, le jeu de Nim comme le jeu d'échecs étant des jeux à deux joueurs, finis.

On apprend à tous les étudiants en mathématiques comment étudier une suite récurrente définie par une homographie : on cherche les points fixes de l'homographie, puis on définit une autre suite à l'aide de la première, en distinguant le cas où l'homographie a un point fixe double, et cette suite se révèle miraculeusement être une suite géométrique ou arithmétique...

Les processus de branchement sont des modèles introduits pour étudier le développement d'une population, dans laquelle les individus se reproduisent indépendamment les uns des autres, et selon la même loi de probabilité. Introduit au 19ème siècle pour étudier la probabilité d'extinction de noms de familles illustres en Grande Bretagne, le modèle de Galton-Watson et ses variantes trouve de nombreuses applications en biologie ou en physique nucléaire.

Ce texte est une introduction rapide aux problématiques qui se posent aux mathématiciens qui s'intéressent à la biologie. Partant d'une interrogation légitime ("Les maths peuvent-elles être efficaces en biologie ?"), il se concentre ensuite sur la description d'un exemple d'application intéressante, la modélisation du chimiotactisme chez certaines amibes, montrant à la fois l'intérêt du langage mathématique, et les difficultés qu'on peut avoir pour résoudre un problème aussi complexe qu'un problème de biologie.

Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction (sur l'intervalle [0,1] par exemple) si l'on ne connaît que sa valeur en 3 points ? Évidemment non, sauf si l'on sait en outre qu'il s'agit d'un polynôme de degré 2 ! Facile, me direz vous : dans ce cas, la donné des valeurs en trois points, quels qu'il soient, permet de retrouver le polynôme et donc de calculer cette intégrale. Beaucoup plus fort : si l'on choisit correctement ces trois points, on peut calculer l'intégrale de n'importe quel polynôme de degré 5, en ne connaissant que sa valeur en nos trois points. Et cette fois, plus question de trouver le polynôme.

Nous nous intéressons ici à un modèle d'interaction proies-prédateurs, proposé par Volterra après la première guerre mondiale. Il s'agissait alors d'expliciter la dynamique des populations de sardines et de requins en mer Adriatique ; expliquer notamment pourquoi les quantités de sardines pêchées après l'interruption due à la guerre n'étaient plus aussi importantes que précédemment et pourquoi à la reprise de la pêche la proportion observée de requins avait augmenté.

Nous nous intéressons ici à un modèle d'interaction proies-prédateurs, proposé par Volterra après la première guerre mondiale. Il s'agissait alors d'expliciter la dynamique des populations de sardines et de requins en mer Adriatique ; expliquer notamment pourquoi les quantités de sardines pêchées après l'interruption due à la guerre n'étaient plus aussi importantes que précédemment et pourquoi à la reprise de la pêche la proportion observée de requins avait augmenté.

Nous avons déjà vu une construction du corps des Réels dans ce site. Nous en donnons une autre, moins complexe et moins universelle, fondée sur la relation d'ordre naturelle des rationnels. Cette construction a l'avantage de donner très facilement la densité des rationnels dans les réels, mais est en revanche plus laborieuse en ce qui concerne les opérations algébriques. A vous de choisir (vous pouvez prendre les deux !)