Christine Proust, Equipe REHSEIS
Les scribes avaient besoin de calculer des inverses pour effectuer les divisions. Pour cette raison, le calcul des inverses est une partie très importante de leur formation mathématique (par exemple dans l'exercice qui accompagne le proverbe dans la tablette scolaire qui se trouve ici, le scribe cherche l'inverse de 17.46.40). Ils connaissaient par coeur les inverses des nombres sexagésimaux réguliers à un chiffre, mais comment faisaient-il pour les nombres à deux chiffres ou plus?
Leur méthode consistait à décomposer les nombres en produits de facteurs réguliers (rappelons que, pour inverser un nombre, celui-ci doit être régulier en base 60). Ensuite, ils calculaient les inverses des facteurs, puis multipliaient les inverses trouvés. Ils exploitaient donc le fait que l'inverse d'un produit est le produit des inverses. On peut exprimer cette règle ainsi, avec nos notations modernes:
1/ab = 1/a x 1/b
Tout l'art consiste donc à factoriser les nombres qu'on veut inverser. Pour factoriser, il faut trouver les facteurs, et donc utiliser des critères de divisibilité.
Exercices:
1- Comment reconnaît-on qu'un nombre écrit en base 10 est divisible par 2? par 5? par 10?
2- Comment reconnaît-on qu'un nombre écrit en base 60 est divisible par 2? par 3? par 5? par 4? par 6? par 10? par 12? par 15? etc.
Prenons un exemple: factoriser 2.5.
2.5 est divisible par 5 (pourquoi?).
Divisons 2.5 par 5. L'inverse de 5 est 12 (voir la table d'inverses ici).
2.5 ÷ 5 = 2.5 × 12 = 25
Donc: 2.5 = 5 × 25
Pour inverser 2.5, il suffit maintenant de multiplier l'inverse de 5 et l'inverse de 25:
inv (2.5) = inv(5) × inv (25) = 12 × 2.24 = 28.48
Voici comment les scribes apprenaient à disposer leurs calculs:
2.5 12
25 2.24
xxxxxxx28.48
Exercice: de la même manière, calculer les inverses de
1) 4.10
2) 2.13.20
3) 17.46.40
(Remarque pour les enseignants: vous trouverez un stock inépuisable d'exercices de ce genre ici; dans un certains nombre de ces exemples, l'algorithme d'inversion est réitéré).