Problèmes de partage : des cadastres à l'arithmétique
Laboratoire SPHERE (CNRS & Université Paris Diderot) - e-mail
Projet européen "Mathematical Sciences in Ancient World" (SAW)
Article
déposé le 29/01/2012. Editeur: Eric
Vandendriessche. Toute reproduction
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d’Alice Morales et de Jean-Paul Guichard. Qu’ils
soient chaleureusement remerciés pour les
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provoquées.
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SOMMAIRE Introduction
1. Des exemples du 3e millénaire 2. Des exemples d’époque paléo-babylonienne 3. Equipartition du trapèze 4. Equipartition du triangle 5. Triplets du trapèze et triplets du triangle Conclusion Bibliographie Encart 1 : La terminologie et la représentation des éléments géométriques Encart 2 : Equipartition du triangle |
Partager un champ en plusieurs parcelles d’aires égales est un des plus anciens problèmes mathématiques connus en Mésopotamie. Certains partages particuliers conduisent à de très jolis problèmes d’arithmétique qui semblent avoir excité la curiosité des mathématiciens mésopotamiens. Cet article se propose de montrer le lien entre des problèmes d’arpenteur et des problèmes d’arithmétique au travers de quelques exemples de tablettes mathématiques d’époque paléo-babylonienne (début du deuxième millénaire avant notre ère).
Les descriptifs des tablettes citées et
commentées dans cet article sont accessibles dans la base de
données en ligne du Cuneiform Digital Library Initiative
(CDLI
Les informations utiles pour la compréhension des mathématiques cunéiformes se trouvent dans les différents articles déjà mis en ligne sur le site CultureMATH. Pour des explications sur les systèmes de mesure et l’écriture des nombres, voir « Le calcul sexagésimal en Mésopotamie ». Pour tout ce qui concerne la chronologie et la géographie, voir « Chronologie des mathématiques en Mésopotamie ».
Toutes les dates citées sont entendues « avant notre ère ».
1- Des exemples du 3e millénaire
Une tablette d'époque sargonique
La plus ancienne tablette portant le témoignage d’un problème de partage de champ est aussi une des plus anciennes tablettes mathématiques connues. Il s’agit d’une tablette d’époque sargonique (2340-2200) provenant de la cité de Nippur, en Mésopotamie centrale (voir carte ici). La tablette est actuellement conservée au Musée de Bagdad sous le numéro d’inventaire IM 58045 [1]. C’est une petite tablette ronde contenant une figure de trapèze sur la face, et non inscrite sur le revers.
Figure
1 Partage du trapèze d’époque sargonique (2340-2200), provenant de Nippur. Conservée au musée de Bagdad sous le numéro IM 58045 |
Ecriture
des nombres
en notation positionnelle sexagésimal = 1
 = 10Exemple :   = 2.30
c'est à dire 2 × 60 + 30, ou 2 + 30/60 =
etc.Pour en savoir davantage lire sur CultureMATH Calcul sexagésimal |
Les mesures des côtés sont inscrites à l’extérieur de la figure. Le système d’unités de longueurs utilisé est le suivant (1 coudée ≈ 50 cm ; 1 canne ≈ 3 m) :
| 1 canne | ← × 6 | 1 coudée |
 |
 |
Les mesures de longueur inscrites sont les suivantes :
Petite base : 1 canne 1 coudée
Côtés : 2 coudées
La partie supérieure de la tablette étant détériorée, la mesure de la grande base est incertaine. Cependant, cette figure évoque très fortement la configuration d’un trapèze partagé en deux bandes de même aire qu’on trouve dans de nombreux exercices de géométrie d’époque paléo-babylonienne (voir §2 et §3 ci-dessous). Par analogie, on peut penser que le chiffre abîmé était à l’origine un 5. Les bases mesureraient alors 17 coudées et 7 coudées (puisque 1 canne = 6 coudées comme l’indique le diagramme ci-dessus). Dans ce cas, la mesure de la transversale, qui n’est pas notée sur cette tablette, serait 13 coudées (pour la justification de cette valeur, voir §3). Nous aurions ainsi sous les yeux le plus ancien exemple de partage du trapèze en deux bandes de même aire, problème promis à un grand avenir dans la tradition mathématique mésopotamienne comme nous le verrons dans ce qui suit. Mais gardons à l’esprit que, pour séduisante qu’elle soit, cette interprétation repose sur une reconstitution de la mesure de la grande base, plausible mais non certaine.
Un cadastre d'époque néo-sumérienne
L’époque néo-sumérienne (troisième dynastie d’Ur, dite aussi « Ur III », 2100-2000) nous a livré une importante collection de cadastres, c’est-à-dire de représentations de parcelles de terrains accompagnées des mesures des côtés et des surfaces (voir deux cadastres provenant d’Umma, conservés au Louvre sous les numéros d’inventaire AO 6060, et AO 5677 ; ce dernier est un très bel exemplaire exposé dans les salles consacrées à l’Orient Ancien au Musée du Louvre). Les cadastres étaient réalisés par des arpenteurs, personnages importants appartenant à l’élite sociale de l’époque. Ces plans de terrains étaient probablement utilisés dans certaines procédures juridiques et, à ce titre, ils sont des documents très intéressants pour l’histoire sociale et économique de la société sumérienne. Les cadastres sont également intéressants pour l’histoire des mathématiques, car d’une part ils éclairent le lien entre les mathématiques et les activités sociales, d’autre part ils nous livrent des informations précises sur les méthodes de calcul des surfaces [2]. Un cadastre provenant d’Umma (YBC 3879) a été étudié récemment par Jöran Friberg, un des spécialistes des mathématiques cunéiformes actuels, dans un article qui montre l’importance des connaissances mathématiques dans le milieu des arpenteurs dès l’époque néo-sumérienne [3]. Ce cadastre concerne un champ de forme irrégulière, qui a été partagé en parcelles d’aires égales. Bien que le texte ne dise rien sur la méthode de partage, Friberg a montré que la procédure nécessitait la résolution d’un problème du second degré. Ce résultat remet en question l’idée selon laquelle les problèmes du second degré ne sont apparus dans les mathématiques cunéiformes que vers 1800 [4].
2- Des exemples d’époque paléo-babylonienne
De nombreux problèmes datant de l’époque paléo-babylonienne (2000-1600), c’est-à-dire de la période la plus prolifique en textes mathématiques dans l’histoire du Proche Orient cunéiforme (voir Chronologie), sont des problèmes de partage de champs en plusieurs parties de même aire, ou de même hauteur, ou de même forme, etc. Parmi ces problèmes, les partages du trapèze en bandes parallèles de même aire (que j’appellerai dans ce qui suit « problèmes d’équipartition du trapèze ») sont particulièrement intéressants car ce type de partage conduit à des problèmes de pure arithmétique, et présente des connexions inattendues avec la recherche des triplets pythagoriciens. Citons quelques exemples de problèmes d’équipartition du trapèze.
Un héritage à partager entre deux familles de neuf frères (VAT 7621)
La tablette du Vorderasiatisches Museum de Berlin portant le numéro VAT 7621 est une tablette de provenance inconnue (probablement de Mésopotamie du sud) [5]. Elle contient deux énoncés de problème, écrits en akkadien, le deuxième étant en partie détruit. Le premier problème, illustré par une figure, est un partage de trapèze en deux bandes de même aire, chaque bande devant ensuite être partagée en neuf parts (voir Encart 1 pour la terminologie et la représentation des éléments géométriques).
Figure
2  Partage d’un trapèze entre 18 personnes - VAT 7621, copie de Neugebauer |
Voici la traduction par Thureau-Dangin du problème 1 :
La formulation indique clairement qu’il s’agit d’un problème d’héritage, ce qui devait du reste être le cas dans la plupart des problèmes d’équipartition. Les piquets étaient sans doute destinés à marquer les limites des parcelles sur le terrain. On peut supposer que l’expression « montrer les piquets » signifiait « déterminer les limites des parcelles ». La procédure de résolution n’est pas donnée dans ce texte, mais les longueurs de la grande base, la petite base et la transversale sont inscrites sur la figure : ce sont 1.45, 1.15, 15. Nous reviendrons plus loin sur ces valeurs. Notons simplement pour l’instant que, si on divise chacun de ces nombres par 15, on obtient, 7, 5, et 1, valeurs que l’on va retrouver dans d’autres problèmes de ce type.
Le problème d’équipartition du trapèze revient à déterminer un triplet de nombres entiers (a, b, c) représentant la grande base a, la transversale b, et la petite base c qui réalise le partage du trapèze en deux bandes d’aires égales. Dans la suite, nous appelons cette solution (a, b, c) « triplet du trapèze » (dans certaines publications, ce triplet est appelé « babylonien »). Se reporter à la partie 3 de cet article pour une étude générale des triplets du trapèze.
Dans les exemples précédents, les
triplets du trapèze rencontrés sont les
suivants :
Pour la tablette présargonique de Nippur
conservée à Bagdad (IM
58045), les mesures des
côtés et de la transversale sont
(hypothétiquement) 17 coudées, 13
coudées et 7 coudées, ce qui donne le triplet
(17, 13, 7).
On vient de voir que pour la tablette conservée à Berlin (VAT 7621), la grande base est 1.45, la transversale 1.15, et la petite base 15, ce qui fournit le triplet (1.45, 1.15, 15). Une fois réduit [6] (chaque élément est divisé par 15), on obtient le triplet (7, 5, 1).
Dans les exemples qui précèdent, la méthode de résolution du problème de partage du trapèze en deux bandes d’aires égales n’est pas expliquée. Les bases du trapèze étant données, comment donc était calculée la longueur de la transversale qui réalise l’équipartition ? Les textes suivants donnent quelques indications.
Un raisonnement juste sur une figure fausse (YBC 4675)
La tablette conservée à l’Université Yale (Yale Babylonian Collection) sous le numéro YBC 4675 est, comme la précédente, une tablette de provenance inconnue (probablement de Mésopotamie du sud) [7]. La tablette contient un seul problème, avec sa résolution détaillée et une figure qui ressemble beaucoup à celle de la tablette précédente.
Figure
3  Equipartition d’un trapèze qui n’existe pas - YBC 4675, copie de Neugebauer. |
Le problème porte sur le partage d’un quadrilatère en deux bandes d’aires égales. Voici sa traduction et la translittération de la figure (d’après Neugebauer et Sachs 1945, p. 44-48) :
la largeur supérieure est 17, la largeur inférieure est 7, sa surface est 2 bùr.
J’ai divisé la surface en deux, c’est 1 bùr chaque partie. La transversale du milieu, c’est combien ?
Figure
4 Tablette YBC 4675, Neugebauer et Sachs 1945, p. 44 |
L’aspect du dessin et la terminologie du texte laissent penser que cette figure représente un trapèze. Dès la lecture de l’énoncé, on constate plusieurs anomalies. D’abord, le problème (trouver la transversale) ne nécessite pas la donnée des longueurs des côtés, comme on le verra plus loin. Plus grave, les données des longueurs des bases (« largeurs supérieure et inférieure ») et des côtés (« première et deuxième longueurs ») sont incompatibles : la figure obtenue est impossible comme le montre le schéma ci-dessous (voir Figure 5) où on constate que l’inégalité triangulaire n’est pas respectée. Noter que le texte cunéiforme n’indique pas les positions sexagésimales relatives des nombres représentant les différentes longueurs. Cependant, il donne des indices permettant de positionner les nombres les un par rapport aux autres. Ces positions sont les suivantes :
