Les articles de l'ENS
Dans cette nouvelle rubrique seront publiés des
articles
écrits par de futurs mathématiciens,
élèves du Département de
Mathématiques et Applications (DMA) de l'Ecole Normale
Supérieure de Paris, sous le contrôle
scientifique des enseignants du DMA.
L'enjeu est d'offrir aux professeurs de mathématiques des textes de vulgarisation de haut niveau pour pratiquer les mathématiques tout en s'informant des recherches récentes dans leur discipline.
Résumé - Comment évolue au cours du temps une population dans laquelle deux versions d'un même gène coexistent, et quelle sera la proportion, dans la population finale, des sous populations caractérisées par cette différence génétique ? Ce problème et bien d'autres peuvent être modélisés par un outil probabiliste : une urne aléatoire. Nous présenterons ici cet objet, ainsi qu'une manière de calculer les probabilités d'évolution de celui-ci grâce à des séries entières.
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Résumé - La fonction zêta de Riemann, définie par $\zeta ( s) = \sum_{ n=1}^{ + \infty} \frac{ 1}{ n^s}$ (pour ${Re}~ s > 1$), intéresse les mathématiciens depuis longtemps, et elle est encore à l'heure actuelle très étudiée, car cette fonction est fortement liée aux propriétés des nombres premiers. Dans ce texte issu d'un Mémoire de M1, nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires.
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Résumé -Lorsque l'on s'intéresse au patrimoine génétique d'une population, il est souvent intéressant d'étudier également les liens de parenté entre les individus de cette population. Le processus coalescent de Kingman est un modèle probabiliste qui associe à un petit nombre d'individus pris au hasard dans une population leur arbre généalogique. En utilisant ce modèle, on peut tester des hypothèses sur la dissémination de mutations. Nous étudierons ici quelques propriétés du processus coalescent de Kingman.
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L'enjeu est d'offrir aux professeurs de mathématiques des textes de vulgarisation de haut niveau pour pratiquer les mathématiques tout en s'informant des recherches récentes dans leur discipline.
Résumés
Urnes aléatoires, populations en équilibre et séries génératrices
Par Bastien MalleinRésumé - Comment évolue au cours du temps une population dans laquelle deux versions d'un même gène coexistent, et quelle sera la proportion, dans la population finale, des sous populations caractérisées par cette différence génétique ? Ce problème et bien d'autres peuvent être modélisés par un outil probabiliste : une urne aléatoire. Nous présenterons ici cet objet, ainsi qu'une manière de calculer les probabilités d'évolution de celui-ci grâce à des séries entières.
$\sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{1}{n^3}$ est irrationnel
Par Sandro Franceschi, Fangzhou Jin et Joël MerkerRésumé - La fonction zêta de Riemann, définie par $\zeta ( s) = \sum_{ n=1}^{ + \infty} \frac{ 1}{ n^s}$ (pour ${Re}~ s > 1$), intéresse les mathématiciens depuis longtemps, et elle est encore à l'heure actuelle très étudiée, car cette fonction est fortement liée aux propriétés des nombres premiers. Dans ce texte issu d'un Mémoire de M1, nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires.
Généalogie de populations : le coalescent de Kingman
Par Bastien MalleinRésumé -Lorsque l'on s'intéresse au patrimoine génétique d'une population, il est souvent intéressant d'étudier également les liens de parenté entre les individus de cette population. Le processus coalescent de Kingman est un modèle probabiliste qui associe à un petit nombre d'individus pris au hasard dans une population leur arbre généalogique. En utilisant ce modèle, on peut tester des hypothèses sur la dissémination de mutations. Nous étudierons ici quelques propriétés du processus coalescent de Kingman.
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