Compte-rendu d’une expérience pédagogique, par Agathe Keller et Eric Vandendriessche

Expérience en trois temps

Premier temps

Au mois de Janvier 2007, Agathe Keller est venue dans la classe de terminale S d'Eric Vandendriessche pour faire un exposé en anglais de 1h30. Son but était de faire comprendre aux élèves en quoi consiste son travail et de leur transmettre quelques éléments sur l’histoire des mathématiques indiennes. Pour cela, Agathe Keller introduisit les textes et mathématiciens qui sont l'objet de ses recherches: le mathématicien indien Âryabhata (476-499) auteur d’un traité d’astronomie, intitulé Âryabhatiya, écrit en 121 vers, qui comporte un chapitre 2 résumant les mathématiques indiennes de l’époque ; le mathématicien Bhâskara (7 ème siècle après JC) auteur d’un commentaire de l’ Âryabhatiya. Donner quelques informations sur ces textes permit à Agathe Keller de présenter un rapide tour d’horizon des connaissances mathématiques en Inde à cette époque (voir l'article de CultureMATH intitulé Textes écrits, textes dits dans la tradition mathématique de l’Inde médiévale). En particulier elle souligna le fait que l’idée d’un texte mathématique est très différente de ce qu’elle est pour nous aujourd’hui.

Les élèves, peu habitués à cet univers ancien, ne posèrent que quelques questions, sur la vie des auteurs en particulier. Pour clore la séance, Agathe Keller, assistée de l’enseignant, proposa une activité d’extraction de racine carrée aux élèves (voir On the History of Indian Mathematics, The procedure to Extract Square roots). L’activité débuta par la lecture et la compréhension de l’algorithme, puis un exemple fut traité par les élèves eux-mêmes. L’un d’eux passa au tableau pour exposer son calcul. Ce travail se termina par une analyse critique de l’algorithme qui ne marche que pour les carrés parfaits.

Agathe Keller et Eric Vandendriessche se mirent d’accord pour proposer aux élèves la lecture de 6 courts extraits d'un traité du mathématicien indien Âryabhata (traduit et étudié par Agathe Keller dans son livre « Expounding the Mathematical Seed », Birkhauser). Ces extraits portent sur :

• • Définition d’un carré (Texte 1)
  • Fractions : élévation au carré, au cube (Texte 2)
  • Aire d’un triangle : usage du théorème de Pythagore et des racines carrées (karanis) (Texte 3)
  • Différentes approximations de PI (Texte 4)
  • Découpe d’un cercle : apparition du sinus d’une corde ou d’un arc (Texte 5)
  • Constructions géométriques: triangle, quadrilatère par tracé de lignes intérieures (médiatrice, diagonales) (Texte 6)

Voir le document A portion of Bhâskara’s commentary (628 A.D.) on the Aryabhatiya (499 A.D.)

Deuxième temps

Au cours d’une séance de travail (1h30) les élèves par petits groupes ont étudié ces textes. La consigne était de les comprendre et de les résumer en anglais lors de la seconde visite d'Agathe Keller. Ils pouvaient également préparer des questions à poser à la chercheuse dans le cas où quelques points demeureraient obscurs.

Les élèves ont préparé les exposés suivants:

• Different ways of calculating the circumference of a circle and approximations of Pi (Text 4). Voir copie p. 1, p. 2.
• How to calculate an approximate value of a sine using geometrical ways (Text 5). Voir copie p. 1, p. 2, p. 3.
• Geometrical constructions (Text 6). Voir copie p. 1, p. 2.

Troisième temps

Agathe Keller est donc revenue dans la classe en avril 2007. Les élèves, seuls ou à deux, voire à trois, ont donc exposé leurs préparations en langue anglaise. Agathe Keller a posé à chaque groupe quelques questions et répondu aux leurs.

Par ces échanges de questions elle a pu attirer l’attention des jeunes sur les différences entre un texte mathématique d'Inde ancienne et un texte mathématique actuel. En général, les lecteurs d'aujourd'hui passent par une écriture mathématique contemporaine pour comprendre ces textes. Pourtant, il y a une différence entre la manière dont Bhâskara écrivait et conduisait son raisonnement, et la nôtre. Le type de texte est très différent aussi: on n’y trouve pas d’annonce de définition par exemple, ou de théorème démontré, ce qui ne signifie pas que l’un et l’autre ne s’y trouvent pas sous une autre forme.

Les différents textes ont soulevé des questions liées aux particularités des textes mathématiques écrits par Âryabhata.

• Texte 1 : Comment définit-on un carré? Le vers du traité donne plusieurs définitions en une; le vocabulaire n'est pas à comprendre en un sens littéral (c'est un terme technique). La caractérisation du carré prend appui sur la grammaire qui est le savoir prestigieux de la tradition sanskrite médiévale.
• Texte 2 : Les fractions avec numérateur et dénominateur ne sont qu'une étape dans le calcul. L'auteur revient toujours pour les énoncés à des formes du genre a+b/c ou a-b/c (où b<c) pour les exprimer, car il pense en fait que toute quantité est entière, et que si on obtient des fractions, c'est que les unités de mesures ne sont pas assez fines.
• Texte 3 : Le calcul d’une aire fait apparaître des irrationnels (karanîs).
• Texte 4 : Histoires d'exactitudes et d'approximations dans le rapport à PI.
• Texte 5 : Calculs géométriques de sinus: outre l’utilisation d’une figure remarquable, Bhâskara fait des approximations en cachette dans ses calculs: les résultats ne sont pas tous exacts. On peut y voir un usage particulier du diagramme en géométrie : il ne s’agit pas d’une figure exacte, mais d’une aide au raisonnement.
• Texte 6 : les méthodes de construction géométriques proposées supposent l’usage d’un fil.
• Texte 7: Comment fonctionne la "définition" de la numération positionnelle décimale? C'est un vrai problème qu'ont discuté les commentateurs: est-ce que la liste des nombres donne juste des noms de nombres? Est ce que ce sont les noms des places dans lesquels on note les chiffres? Est-ce qu'il s'agit d'indiquer que les places sont une suite ordonnée et croissante de puissances de dix? Le commentateur note aussi qu'il s'agit d'une convention interne aux textes mathématiques.

Cette seconde rencontre s’est achèvée sur quelques questions plus générales posées par les élèves sur le métier d’historien des sciences et le parcours d’Agathe Keller.