Dossier de Bernard Vitrac sur les géomètres de la Grèce antique - Chapitre 9 : Le renouveau d'Alexandrie à l'époque impériale
Encart 2: L'algorithmique géométrique
Pseudo-Héron, Geometrica, Section 24, Problème 3 :
Une aire carrée ayant l'aire plus le périmètre : 896 pieds. Séparer l'aire du périmètre. Je fais ainsi :
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(a) De manière universelle que soient proposées 4 unités. (b) Dont le 1/2 produit : 2 pieds. (c) Celles-ci, par elles-mêmes, produisent 4 pieds. (d) Ajoute alors avec les 896; ensemble sont produits : 900 pieds. (e) Dont le côté carré produit 30 pieds. (f) Et à partir des 4, retranche le 1/2 : 2 pieds sont produits. (g) Comme reste sont produits 28 pieds. |
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(h) Donc l'aire est 784 pieds et le périmètre est 112 pieds. (i) Ensemble ajoute-les tous : sont produits 896; autant que ceux-là sera l'aire avec le périmètre : 896 pieds. |
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La formulation
du problème est géométrique, mais
réside dans l'application d'un algorithme, connu, dans
l'algèbre élémentaire moderne, comme
la méthode dite de « complétion du
carré ».
Commentaire algébrique : On note c le côté du carré. Son aire est S = c2, son périmètre p = 4c.
x2 + ax = b. Pour trouver S et p, il faut calculer c. On peut remarquer que c'est fait à l'étape (g : c = 28), mais ce n'est pas dit. Seuls S et p sont spécifiés à l'étape (h).
Pour trouver c, l'inventeur du problème suit une procédure que l'on peut transcrire de la manière suivante :
(étapes a-b-c).On ajoute b et on calcule
(étapes
d-e)Et
on retranche 
.
La solution est c = 
- 
.
(étapes f-g)
Ici on trouve 28; on calcule S = (28)2 = 784 et p = 4 . 28 = 112 (h). On vérifie que leur somme fait bien 896 (i).
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Manuscrit
grec des Geometrica.
 Dans
ce manuscrit, plutôt soigné, le diagramme
géométrique est tracée à la
suite du
problème dans un espace réservé. Ainsi
le problème 3 se trouve au recto du
folio 29, mais la figure est au verso, entourée par le
problème N°4.
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