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Mathématiser / Résoudre

par Gille Dowek

Résumé - On attribue au physicien Ernest Rutherford (1871-1937) la citation « All science is either physics or stamp collecting ». Malgré son caractère provocateur et caricatural, cette citation résume assez bien l’architectonique des sciences jusqu’à la fin du XXe siècle : la physique règne, une grande partie des mathématiques est motivée par ses applications à la physique, la biologie décrit et classe les espèces, les humanités ne sont pas encore les sciences humaines et la technique n’est qu’une application de la science.

Cette vision nous semble aujourd’hui bien obsolète. L’émergence de l’informatique nous a contraint à revoir les frontières entre sciences et techniques. Elle a fourni des cadres conceptuels qui permettent de formaliser et de simuler de nombreux phénomènes de la biologie, des sciences humaines et parfois aussi de la physique. Et la biologie et certaines parties des sciences humaines ont conquis le statut de science à part entière.

Cette révolution scientifique qui met l’abstraction et la symbolisation au cœur de la démarche scientifique est sans doute une excellente nouvelle pour les mathématiques, qui voient leur champ d’application s’étendre, mais aussi leurs méthodes se généraliser.

Dans cet exposé, je tenterai de montrer, à l’aide de quelques exemples, qu’un certain nombre de concepts issus des applications des mathématiques à l’informatique peuvent contribuer à diversifier l’enseignement des mathématiques au lycée.

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Les mathématiques: des siècles de jubilation

par André Deledicq

Résumé - C’est l’heure de la célébration festive d’un anniversaire joyeux, d’un jubilé particulièrement important pour tous ceux qui aiment et qui enseignent les mathématiques : le centenaire de l’APMEP !
Ce faisant, nous célébrerons une fête des mathématiques qui, siècle après siècle, accumulent les occasions de vivre les beautés et les surprises de l’intelligence.
En remontant dans le temps nous évoquerons ainsi les visions de Cantor, les constructions de Boliay, les machines de d’Alembert, et les aventures de Neper.
Et nous évoquerons bien d’autres situations, concepts ou problèmes, qui ont fait, et qui font toujours, du jeu des calques mathématiques (ceux du formalisme, des représentations et des objets réels) le plus jubilatoire des jeux de l’esprit et de la connaissance.

Le mathématicien, entre formalisme et intuition

par Wendelin Werner

Résumé - Que ce soit pour l'activité de recherche ou pour l'enseignement, le mathématicien doit sans cesse faire des aller-retour entre une approche formelle, forcément épurée et universelle, et une intuition plus humaine et personnelle des objets qu'il manipule, souvent basée sur son histoire personnelle.
Le but de cette conférence sera, à travers quelques exemples, d'illustrer cette dualité, et de réfléchir à quelques pistes possibles pour l'enseignement de notre discipline.

L'effet papillon. Du chaos aux prévisions météo et projections climatiques

par Camille Marini

Résumé - E. N. Lorenz, un grand météorologue du 20e siècle voulait comprendre pourquoi les phénomènes atmosphériques étaient si difficiles à prévoir. Comme une grande partie des mouvements atmosphériques est d’origine convective, il s’intéressa aux équations modélisant la convection dans un fluide. Ces dernières donnèrent naissance au « système de Lorenz ». Nous commencerons par étudier les propriétés de ce système et montrer qu’il possède un comportement chaotique, ce qui limite sa prévisibilité. Nous généraliserons le problème aux prévisions météorologiques et verrons que si on ne peut pas prévoir la météo à plus de quinze jours, on peut toutefois étudier le climat futur. Dans le contexte de polémique sur le réchauffement climatique, la compréhension des systèmes chaotiques apporte donc un éclairage pertinent sur le problème.

Le nom et la chose en mathématiques: un débat qui traverse les sciences

par Philippe Boulanger

Résumé - La réalité d’un ensemble d’objets est délicate à définir et le problème des « universaux » qui date des Grecs, fût l’objet d’études des scolastiques durant tout le Moyen Âge. Les nominalistes pensent qu’il n’y a aucune réalité derrière un mot, les réalistes que la catégorie définie par les propriétés de ses éléments a une existence véritable.
Les réalistes comme Cantor pensent que l’ensemble des nombres réels est actuel et que l’on peut raisonner dessus, par exemple le comparer à l’ensemble des nombres fractionnaires. Kronecker, avec bien d’autres, lui déniera cette possibilité.
La querelle a des retentissements dans toutes les sciences. Ainsi, Buffon est un nominaliste : il pense que les groupements des individus en espèces n’a pas d’intérêt scientifique, et que c’est juste une commodité inopérante. Darwin prouve que les espèces ont une réalité et qu’à travers la sélection naturelle, ce sont elles qui évoluent.
La difficulté existe jusqu’en grammaire, avec la figure de style nommée syllepse, qui permet d’accorder un adjectif avec l’ensemble des objets, considéré comme une réalité, ou avec les objets qui le composent, auquel cas l’ensemble n’est pas à considérer comme un sujet réel.
Quelle est la réalité de l’ensemble des électrons ? Feynman a pensé qu’il n’existait peut-être qu’un seul électron qui se promenait dans l’espace-temps !
Les réalistes, convenablement bridés par des définitions adéquates, ont toujours eu gain de cause et ce sont eux qui ont fait progresser les sciences. Mais le problème de la réalité des choses « nommées » a rendu de nombreux mathématiciens mal à l’aise : Borel a démontré que presque tous les nombres étaient subnormaux (des nombres normaux dans toutes les bases), mais on n’en connaît encore aucun. Définir des objets qu’ils ne savaient pas construire a conduit d’éminents mathématiciens à abandonner leur domaine d’étude.
C’est un grand pari des mathématiques que de faire exister les objets en créant les mots qui les désignent. Et l’exposé montrera que ce n'est pas un pari réservé aux seules mathématiques…

Questions soulevées par l'enseignement du calcul mental de 1882 à nos jours: une approche socio-didactique

par Pascale Masselot

Résumé- Les derniers programmes de l’école primaire insistent sur la nécessité pour les élèves d’acquérir des automatismes : est-ce quelque chose de nouveau ? Ces formulations apparaissent immédiatement à la suite de la phrase relative au calcul mental: doit-on inférer qu’une automatisation est particulièrement recherchée dans ce domaine des mathématiques ? Que nous apportent les recherches en didactique à ce sujet ? Comment sont prises en compte ces injonctions dans la formation des maîtres ?