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Question du jeudi #32 : Montrer que le nombre $R_n = \underbrace{111\ldots 111}_{n\ \text{chiffres}}$ n'est pas un carré si $n > 1$.

Commençons par une remarque sur les carrés.

• Si $m = 2k$, $m^2 = 4k^2$ est un multiple de $4$ ;
• Si $m = 2k+1$, $m^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k)+1$ est de la forme $4\ell + 1$.

Or, si $n \geq 2$, on a
\begin{align*}
 R_n = \underbrace{111\ldots 111}_{n-2\ \text{chiffres}}\,11 &= R_{n-2} \times 100 + 11\\
&= R_{n-2} \times 4 \times 25 + 4 \times 2 + 3\\
&= 4 \left(25 R_{n-2} + 2\right) + 3,
\end{align*}
et ce nombre n'est donc pas de la forme $4 \ell$ ou  $4 \ell + 1$ et ne peut en particulier pas être un carré.