Le dispositif: présentation pour les professeurs

Qu’est-ce que la narration de recherche ? Inventée par des collègues de Montpellier (voir Chevalier et Sauter en bibliographie), cette activité consiste à proposer aux élèves de travailler sur un problème choisi hors de toute contrainte de programme, puis de rédiger un compte rendu de leur recherche qui décrive toutes les idées, toutes les pistes suivies, y compris celles qui n’ont pas abouti.

Les élèves sont prévenus qu’on attachera plus d’importance à la description de la recherche qu’à l’obtention du résultat. Ne pas trouver ou trouver un résultat faux n’est pas du tout grave. Chaque élève est ainsi amené à porter son attention sur la recherche proprement dite : comprendre pourquoi telle idée ne sera pas utile, faire des retours en arrière, profiter de la confrontation avec ses deux ou trois partenaires, utiliser un « déclic » apparu chez l’un ou l’autre et, finalement, presque toujours, arriver très près d’une solution du problème.

Les thèmes proposés à nos élèves ont été variés : dénombrements, géométrie, équations, arithmétique, approximations… Le raisonnement par récurrence est souvent présent en filigrane.

À un sujet donné on consacre en général trois ou quatre séances d’une heure. Les élèves (en demi-classe ou en classe entière) se regroupent par trois ou quatre. Le professeur distribue à chacun une feuille où est exposé le sujet. Une première demi-page explique la « règle du jeu ». Le problème proprement dit est exposé dans la demi-page inférieure. Il comporte le plus souvent plusieurs questions. Les premières portent sur des cas particuliers très simples que l’on peut traiter à l’aide de dessins ou de calculs élémentaires. Puis les choses se compliquent et le recours au raisonnement devient la seule chance de salut…

Une ou deux séances sont consacrées à la recherche. Chaque élève note au brouillon tout ce qui s’est passé dans son groupe et les résultats progressivement obtenus. Le professeur est amené à intervenir lors de ces séances, il répond aux questions et peut faire des suggestions, signaler des impasses, encourager telle initiative ; cela dépend beaucoup de la difficulté du sujet.

La séance suivante est consacrée à la rédaction individuelle, au propre, de la narration. Enfin la dernière séance est celle de la correction. Le professeur présente des extraits de copies (rétroprojection de transparents), récapitule les principales idées et les principales méthodes qui sont apparues, et explique la solution du problème. Cette séance est l’occasion d’un dialogue avec la classe et d’un travail sur les écrits des élèves très apprécié d’eux et pendant lequel ils restent très attentifs.

Le résultat le plus spectaculaire de notre expérience est le degré de concentration des élèves, même dans des classes réputées « agitées ». L’intérêt et l’attention ne se manifestent pas uniquement pendant la phase de la recherche, mais encore (et cela nous a surpris) pendant les séances de correction. Cette concentration et cet intérêt s’expliquent en partie par la particularité de cette activité, qui tranche sur les cours habituels : les élèves ont l’initiative, ils sont encouragés à parler entre eux, on leur dit qu’on attache peu d’importance au « résultat », enfin il n’y aura pas de note « sanction ». En effet, si nous n’avons pas jusqu’ici trouvé de méthode entièrement satisfaisante pour l’évaluation de ces travaux, nous sommes tous au moins d’accord pour estimer qu’elle ne doit pas être pénalisante.

Nous avons également été très frappés par la qualité des productions écrites des élèves (compte non tenu de l’orthographe…) ; cela a été confirmé par des collègues professeurs de français qui y ont trouvé une rigueur et une précision généralement absentes des rédactions qu’ils ont à lire. Il ne fait pas de doute qu’un travail en commun du professeur de français et du professeur de mathématiques sur ces narrations de recherche est très fructueux.

Dans les réflexions qui accompagnent les compte rendus des narrations de recherche que vous lirez ici, c’est notre intuition, notre expérience d’enseignants ou de mathématiciens qui parle et, sans vouloir exposer quelque théorie que ce soit, nous espérons simplement faire partager au plus grand nombre de collègues cette expérience. Nous les invitons à s’y associer avec leurs élèves, à critiquer notre point de vue, à en suggérer d’autres, à proposer de nouveaux sujets de recherche. Nous avons en tout cas la conviction que, à un moment où, dans l’enseignement secondaire, on renonce de plus en plus à « faire des démonstrations » en se contentant de la maîtrise de quelques algorithmes, la narration de recherche est un moyen efficace permettant aux élèves d’avoir une véritable activité mathématique. Elle est l’occasion, à travers la résolution de problèmes, de prendre goût à la recherche et au raisonnement, et aussi de prendre plus à cœur l’effort de rédiger.

Le dispositif : présentation pour les élèves

Voici la façon dont le déroulement de la narration de recherche peut être présenté aux élèves.

"La solution du problème qu’on vous propose n’est pas facile à trouver. Le but de ce travail est bien sûr de trouver la solution, mais surtout de la chercher. Vous pouvez essayer toutes les méthodes qui vous viennent à l’esprit. Il faudra ensuite expliquer par écrit tous les détails de vos recherches, de vos idées, même si elles ne donnent pas le bon résultat (il faudra alors expliquer pourquoi ça ne marche pas).

La recherche durera deux heures. Vous travaillerez par groupes de 3 ou 4 élèves.

Cette semaine, vous aller chercher en notant au brouillon tout ce que vous faites, vos idées, les idées du groupe. Vous pouvez discuter entre vous, vous disputer, utiliser les idées des autres, utiliser des méthodes qui finalement ne marchent pas : tout est permis. Ce qui est important, c’est d’écrire ce qui se passe dans votre groupe et dans votre tête. Les brouillons et les énoncés seront relevés par le professeur à la fin de l’heure.

La semaine prochaine, on vous rendra vos brouillons et vos énoncés. Vous pourrez continuer à chercher si vous le souhaitez, puis vous rédigerez au propre un compte-rendu de vos recherches à partir de ce que vous avez écrit au brouillon. Chaque élève doit rendre une copie.

Les copies seront notées, mais pas tout à fait comme d’habitude. Le plus important n’est pas d’avoir trouvé la réponse juste, mais d’avoir écrit le plus de détails possible sur votre recherche.

Il faut :

• raconter avec précision tous vos essais, même s’ils n’ont pas donné la solution ;
• reproduire les dessins que vous avez faits au brouillon ;
• rédiger de façon à être compris par celui qui lit votre copie."

Une liste de sujets

Tous les sujets de problème ne se prêtent pas à l'activité de narration de recherche.

Le problème doit être ouvert et offrir plusieurs voies d'accès, de façon à inspirer les élèves quel que soit leur niveau et leur personnalité, et aussi à susciter des discussions. La réponse ne doit pas paraître évidente aux élèves, et la solution doit être réellement énigmatique: un problème est un défi à relever! Il ne faut pas hésiter à poser des problèmes difficiles, même (surtout?) à des élèves considérés comme "faibles"; les professeurs seront souvent surpris par l'ingéniosité de leurs élèves.

La rédaction du sujet est importante. Le sujet doit commencer par des questions faciles pour aider à entrer dans la recherche, et pour ne décourager personne. Il doit être rédigé de façon attractive et claire, en évitant les obstacles inutiles que dressent souvent les mises en scène pseudo concrètes.

Les problèmes de dénombrement se prêtent particulièrement bien aux narrations de recherche; il ne faut cependant pas s'y cantonner car bien des problèmes numériques et géométriques peuvent aussi susciter des recherches très actives et intéressantes.

Voici une liste de sujets qui ont fait leurs preuves: ils ont été testés dans des classes de collège et de lycée (voir la Brochure). Certains d'entre eux, notamment les problèmes de dénombrement, ont autant de succès en sixième qu'en terminale. Les lecteurs sont invités à enrichir cette liste.

• Les diagonales d’un polygone - Un problème de dénombrement
• Les poules et les lapins - Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
• L’escalier - Dénombrement conduisant à la suite de Fibonacci
• Les déplacements du taxi - Dénombrement conduisant au triangle de Pascal
• Les divisions - Développements décimaux périodiques

D'autres sujets ont été testés, mais n'ont pas donné de résultats satisfaisants (voir la Brochure p. 72-79)

Quelques témoignages d'élèves et de professeurs

Vu dans des copies d'élèves de sixième du collège Pierre Mendès-France (Paris 20e)