Texte d'Emmanuel Grenier, ENS Lyon. Version ps ou pdf.

Vous trouverez ci-dessous des illustrations des phénomènes décrits dans ce texte.

Table des matières

• Introduction
• Schéma centré
• Schéma décentré à droite
• Schéma décentré à gauche

Introduction

Nous nous intéressons ici au système différentiel suivant :

L'équation aux dérivées partielles (1) est appelée équation de transport. En effet nous savons trouver la solution exacte de ce système, à savoir la fonction :

Pour un résolution numérique, on cherche à discrétiser tout ceci. C'est-à-dire que l'on désire calculer des valeurs approchées de la solution u en un certain nombre de points (discrétisation en la variable spatiale x), typiquement les multiples du pas h choisi. Et ce uniquement à des moments successifs donnés (discrétisation en temps : on se donne un pas temporel k).
Comme on connaît la valeur initial de la solution u, toute la difficulté consiste à trouver un moyen d'exprimer les valeurs de u aux points voulus à l'instant t_n+1 en fonction de ses valeurs en ses points à l'instant t_n.
Pour la suite, on notera u_iⁿ l'approximation de u au point i h, et à l'instant n k.
Discrétiser l'équation, c'est alors remplacer les différentes dérivées de u par des valeurs approchées : ainsi la dérivée de u par rapport à t, au point u_iⁿ, sera remplacée par le rapport (u_iⁿ⁺¹ - u_iⁿ)/k, c'est-à-dire le taux d'accroissement correspondant.

Enfin, nous allons illustrer dans le cas où la donnée initiale est de type "échelon", c'est-à-dire une fonction en escalier, nulle partout sauf sur un intervalle sur lequel elle est constante, égale à 1.

 
 

Code source de l'applet.

 
 

 
 

Deuxième essai : schéma décentré à droite La discrétisation précédente n'est pas symétrique en temps et en espace, les deux dérivées étant discrétisées différemment. Essayons donc cette fois de remplacer la dérivée spatiale en uin (par rapport à la variable x) par le rapport (ui+1n - uin)/h. Notre équation de transport, ainsi discrétisée, devient :   (uin+1 - uin)/k + (ui+1n - uin)/h = 0 Là aussi, ce modèle est illustré ci-contre. Disponible également, le programme transport2, version matlab ou scilab, dans lequel on a pris les valeurs h=0.02 et k=0.01. Ceci correspond au schéma (8) du texte d'Emmanuel Grenier.

Code source de l'applet.

 
 

 
 

La solution : schéma décentré à gauche Voyons enfin ce qui se passe lorsque la dérivée spatiale en uin est approximée par le rapport : (uin - ui-1n)/h. L'équation de transport discrétisée est alors :   (uin+1 - uin)/k + (uin - ui-1n)/h = 0 Ce modèle fonctionne, comme l'illustre l'applet ci-contre. Disponible également, le programme transport3, version matlab ou scilab, dans lequel on a pris les valeurs h=0.02 et k=0.01. Ceci correspond au schéma (9) du texte d'Emmanuel Grenier.

Code source de l'applet.

 
 

 
  Pour l'explication des différences fondamentales entre ces différentes façons de simuler numériquement l'équation de transport, pour découvrir pourquoi les deux premières sont vouées à l'échec tandis que la troisième fonctionne assez bien, nous vous renvoyons bien sûr au texte d'Emmanuel Grenier.