Décryptage de la couverture
L’homme aime la beauté.
La beauté est dans la nature.
La beauté est aussi dans beaucoup d’objets fabriqués par la main de l’homme mais "il est un point que nous n’accorderons à personne, c’est que l’on puisse voir quelque part des corps plus beaux que ceux-ci".
Qui a écrit cette phrase et quels sont ces corps ?
Cette phrase figure dans le Timée, œuvre écrite par Platon quelque quatre siècles avant Jésus-Christ. Et ces corps sont les cinq polyèdres réguliers décrits, dans ce traité justement par Platon.
Qu’est-ce qu’un polyèdre ? En mathématiques on vous dira qu’un polyèdre est un objet limité exclusivement par des faces planes. Pour nous le représenter prenons une pomme de terre et donnons tout autour des coups de couteau de façon que ne subsiste plus aucun point du pourtour initial : nous aurons alors en main un objet limité exclusivement par des faces planes, ce sera un polyèdre. Suivant notre goût nous pourrons chercher à disposer ces coups de couteau de façon plus ou moins régulière pour obtenir une certaine régularité plus plaisante à l’œil.
Nous constatons alors que ces faces planes sont des figures limitées par des segments de droite, on les appelle des polygones. Les segments de droite sont les côtés (en nombre quelconque), deux côtés consécutifs enserrant un angle. Si les côtés sont de longueur égale et si les angles sont égaux le polygone sera dit régulier.
Revenons au polyèdre. On le dira régulier si ses faces sont des polygones réguliers d’un seul type. On démontre qu’à partir de cette définition on ne peut obtenir que cinq polyèdres, ce sont les polyèdres réguliers décrits par Platon, on les appelle pour cette raison platoniciens.
Pour les réaliser partons des polygones réguliers les plus simples. Commençons par trois côtés, le triangle. Il sera obligatoirement équilatéral puisque régulier. Si nous juxtaposons des triangles équilatéraux nous pourrons en placer à partir d’un même angle trois, quatre ou cinq. A partir de six, ils s’écraseraient sur le plan. Ces trois procédés nous donneront trois polyèdres réguliers
- le tétraèdre, formé de 4 triangles équilatéraux,
- l’octaèdre, formé de 8 triangles équilatéraux,
- l’icosaèdre, formé de 20 triangles équilatéraux.
Après trois côtés passons à quatre, c’est le carré. Nous ne pouvons former un angle dans l’espace qu’avec trois carrés. A partir de quatre, ils s’écraseraient sur le plan. Nous obtiendrons le cube (ou hexaèdre), formé de 6 carrés.
Maintenant essayons avec cinq, ce sera le pentagone régulier. Nous ne pouvons former un angle dans l’espace qu’avec trois pentagones (réguliers). Au delà, ils s’écraseraient sur le plan. Ce sera le dodécaèdre, formé de 20 pentagones réguliers.
Tels sont les cinq et les cinq seuls polyèdres réguliers possibles, les cinq qui avaient été décrits par Platon dans sa belle langue grecque.
Ensuite de nombreux développements sont possibles, par exemple polyèdre formé de polygones, tous réguliers, mais de plusieurs types, ce seront les polyèdres dits archimédiens (Archimède les aurait découvert ou inventés …), et encore bien d’autres variations, mais cela nous emmènerait trop loin, il faut un livre entier pour les décrire.
Retenons que les polyèdres participent à la beauté des mathématiques.
La beauté est dans la nature.
La beauté est aussi dans beaucoup d’objets fabriqués par la main de l’homme mais "il est un point que nous n’accorderons à personne, c’est que l’on puisse voir quelque part des corps plus beaux que ceux-ci".
Qui a écrit cette phrase et quels sont ces corps ?
Cette phrase figure dans le Timée, œuvre écrite par Platon quelque quatre siècles avant Jésus-Christ. Et ces corps sont les cinq polyèdres réguliers décrits, dans ce traité justement par Platon.
Qu’est-ce qu’un polyèdre ? En mathématiques on vous dira qu’un polyèdre est un objet limité exclusivement par des faces planes. Pour nous le représenter prenons une pomme de terre et donnons tout autour des coups de couteau de façon que ne subsiste plus aucun point du pourtour initial : nous aurons alors en main un objet limité exclusivement par des faces planes, ce sera un polyèdre. Suivant notre goût nous pourrons chercher à disposer ces coups de couteau de façon plus ou moins régulière pour obtenir une certaine régularité plus plaisante à l’œil.
Nous constatons alors que ces faces planes sont des figures limitées par des segments de droite, on les appelle des polygones. Les segments de droite sont les côtés (en nombre quelconque), deux côtés consécutifs enserrant un angle. Si les côtés sont de longueur égale et si les angles sont égaux le polygone sera dit régulier.
Revenons au polyèdre. On le dira régulier si ses faces sont des polygones réguliers d’un seul type. On démontre qu’à partir de cette définition on ne peut obtenir que cinq polyèdres, ce sont les polyèdres réguliers décrits par Platon, on les appelle pour cette raison platoniciens.
Pour les réaliser partons des polygones réguliers les plus simples. Commençons par trois côtés, le triangle. Il sera obligatoirement équilatéral puisque régulier. Si nous juxtaposons des triangles équilatéraux nous pourrons en placer à partir d’un même angle trois, quatre ou cinq. A partir de six, ils s’écraseraient sur le plan. Ces trois procédés nous donneront trois polyèdres réguliers
- le tétraèdre, formé de 4 triangles équilatéraux,
- l’octaèdre, formé de 8 triangles équilatéraux,
- l’icosaèdre, formé de 20 triangles équilatéraux.
Après trois côtés passons à quatre, c’est le carré. Nous ne pouvons former un angle dans l’espace qu’avec trois carrés. A partir de quatre, ils s’écraseraient sur le plan. Nous obtiendrons le cube (ou hexaèdre), formé de 6 carrés.
Maintenant essayons avec cinq, ce sera le pentagone régulier. Nous ne pouvons former un angle dans l’espace qu’avec trois pentagones (réguliers). Au delà, ils s’écraseraient sur le plan. Ce sera le dodécaèdre, formé de 20 pentagones réguliers.
Tels sont les cinq et les cinq seuls polyèdres réguliers possibles, les cinq qui avaient été décrits par Platon dans sa belle langue grecque.
Ensuite de nombreux développements sont possibles, par exemple polyèdre formé de polygones, tous réguliers, mais de plusieurs types, ce seront les polyèdres dits archimédiens (Archimède les aurait découvert ou inventés …), et encore bien d’autres variations, mais cela nous emmènerait trop loin, il faut un livre entier pour les décrire.
Retenons que les polyèdres participent à la beauté des mathématiques.
Roger le Masne
*
Le livre des Polyèdres a
été
publié à compte d'auteur. Les lecteurs de
CultureMath intéressés
par cet ouvrage obtiendont des informations sur sa distribution en
écrivant à Roger le
Masne - email