Présentation de l'éditeur
Une recension du livre
Géométrie analytique classique de Jean-Denis Eiden (Editions Calvage & Mounet, 2009)
Bienvenue
à la maison Calvage & Mounet. Le chef cuisinier s'appelle
Jean-Denis Eiden et sa bonne table est un passage incontournable pour
les professeurs de mathématiques ou candidats à
l'être. Rien que la lecture de la carte nous met l'eau à
la bouche. Des grands classiques (théorème de Pascal,
droite de Simson et ses cousines de Steiner et de Newton,
théorème de Ptolémée) aux plus intriguants
(points de Lucas, Gergonne ou Napoléon, théorème
de Carnot, cercle d'Apollonius, involution de Désargues) il y a
de quoi satisfaire les géomètres en herbe (au point de se
demander si l'on a affaire à un livre d'histoire ou de
mathématiques). Si malgré tout on venait à manquer
de détermination pour déguster les 500 pages de ce livre,
l'avant-propos nous rappelle, oh combien vrai, que "tous ceux qui,
stimulés par l'enthousiasme de leurs professeurs et la
beauté des figures, ont goûté à cette
discipline, savent bien quelle source de plaisir elle peut être
(et pas seulement les mathématiciens professionnels qui lui
doivent souvent leur vocation)".
L'outil du calcul en coordonnées
barycentriques est introduit dès le premier chapitre, en
apéritif, comme fondamental pour des problèmes
liés à la géométrie du triangle et pas
seulement. La belle symétrie des formules surprend les
habitués des coordonnées cartésiennes. La
gymnastique mentale demandée n'est pas sans
intérêt: elle permet d'éclaircir et d'unifier le
langage de la géométrie affine tout en conduisant en
douceur le jeune apprenti vers la géométrie projective.
Avez-vous déjà déterminé l'équation
barycentrique du cercle circonscrit au triangle ABC ?
Retrouvons-nous au deuxième chapitre pour
l'entrée des coniques. Les amateurs de fast-food seront ravis
d'apprendre qu'on peut obtenir le centre d'une conique en une ligne de
calcul. On y trouve notamment une jolie démonstration du
théorème de Pascal et de sa réciproque
(l'hexagramme mystique pour les connaisseurs).
Vient ensuite le troisième chapitre, bon plat
de résistance autour des correspondances isotomique et
isogonale, pimenté par l'apparition naturelle de l'ellipse de
Steiner (et son point de Steiner), des symédianes, du point de
Lemoine, etc. Connaisiez-vous un dixième point sur le cercle des
neuf points d'Euler ? En voici une pléiade: considérez
les centres des hyperboles équilatères circonscrites au
triangle ! Ne laissez pas de miettes dans l'assiette pour
connaître la vraie nature du mot "équilatère" et
resavourer le théorème de Pascal à la cuisson
euclidienne. Le bouquet final relie les deux inversions au moyen d'une
hyperbole, vous l'avez deviné, équilatère.
Le quatrième chapitre, sur les familles de
coniques, n'a rien de la légéreté d'une salade,
sauf si l'on a bien digéré les chapitres
précédents. On apprécie alors la
généralisation du cercle d'Euler à la conique des
neuf points, et celle des inversions quadratiques, l'élucidation
du mystère Frégier et plus épicée encore,
la démonstration du théorème de Feuerbach: le
cercle d'Euler d'un triangle est tangent au cercle inscrit et aux trois
cercles exinscrits, avec en prime le fait que les tangentes aux points
de contact sont également tangentes à l'ellipse de
Steiner. Le gourmand non averti découvrira ici les points
cycliques ainsi qu'un avant-goût des courbes elliptiques et de la
géométrie algébrique.
Toute la force du calcul en nombres complexes fait
la consistance du chapitre suivant, corsé comme un bon fromage.
Une autre tout aussi jolie preuve du théorème de Pascal
s'y trouve, ainsi qu'un kit géométrique de survie dans le
désert, grâce aux inversions. Pour se délecter
encore plus le palais nous recommandons le raffinement de la
configuration de Fermat-Toricelli, l'orthologie, les homographies, les
quadrangles (équi-)harmoniques.
Au dessert, un dernier chapitre consacré aux
cercles. La cerise sur le gâteau (rond) est sans doute
l'alternative de Steiner avec son magnifique collier de perles, qui se
referme ou non. Le café est servi en annexe A, avec ses
multiples explorations autour des notions rencontrées. Arrosez
le tout d'une bonne vieille formalisation (annexe B) et vous aurez
conclu en rigueur un repas succulent. L'exercice étant pourtant
nécessaire si on veut garder la ligne, cet ouvrage en est bien
fourni, avec des solutions détaillées. On ne saurait
profiter autant de ce festin sans la richesse de ses figures, sel et
poivre qui relèvent toute réjouissance
géométrique. Nous partîmes heureux, en emportant un
doggy-bag rempli de sujets d'examen. L'addition étant somme
toute très raisonnable, il ne nous reste qu'à vous
souhaiter "Bon appétit !" (et à lui décerner six
toques au guide Michelin).
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