Présentation de l'éditeur
Nicolas Bacaër
Chargé de recherche à l'Institut de Recherche pour le Développement (IRD) - Email- Page web
Ce
livre présente
dans l'ordre chronologique une vingtaine
de modèles mathématiques ayant joué un
rôle dans l'histoire de la dynamique des
populations, un domaine qui englobe des parties de la
démographie, de
l'écologie, de l'épidémiologie et de
la génétique. Chaque chapitre rappelle
quelques éléments de la biographie d'un
scientifique et explique en détail le
contenu d'un de ses travaux de recherche.
Un professeur de mathématiques pourra trouver dans ce livre quelques idées d’exercice ayant une signification biologique, médicale ou sociale, des exemples numériques et des références aux sites internet hébergeant les articles originaux. Beaucoup de chapitres peuvent être compris par un étudiant de terminale scientifique, et tous par un étudiant en fin de première année d’université. La liste suivante récapitule, sous la forme condensée habituelle des manuels de mathématiques, les principales équations du livre. Contrairement à beaucoup d'exercices de même niveau de difficulté proposés aux étudiants, la plupart de ces équations ont suscité des centaines voire des milliers de pages de commentaires dans la littérature scientifique. Elles ne sont donc probablement pas sans intérêt.
Suites récurrentes
P(n+1)=P(n)+P(n-1) [Fibonacci, 1202, «écologie »]
P(n+1)=a P(n) [Euler, 1748, démographie]
P(n)=P(n-11)+P(n-12)+P(n-13) [Euler, 1761, démographie]
P(n+1)=a + b P(n) + c P(n)² avec a+b+c=1 et a,b,c>0 [Bienaymé, 1845, démographie]
P(n+1)=4 P(n)+Q(n), Q(n+1)=2 Q(n), R(n+1)=4 R(n)+Q(n) [Mendel, 1865, génétique]
P(n+1)=(P(n)+Q(n))², Q(n+1)=(P(n)+Q(n))(Q(n)+R(n)), R(n+1)=(Q(n)+R(n))² [Hardy, Weinberg, 1908, génétique]
P(n+1)=[a P(n)² + b P(n) (1-P(n))] / [a P(n)² + 2 b P(n) (1-P(n)) + c (1-P(n))²] [Fisher, 1922, génétique]
P(n+1)=exp(a (P(n)-1)) [Fisher, Haldane, 1922, génétique]
P(n+1)=a P(n) (1-P(n)) [May, 1974, écologie]
Equations différentielles
dP/dx = - a P – b(x) P, dQ/dx = c P – b(x) Q [D. Bernoulli, 1760, inoculation de la variole]
dP/dt = a P (1-P/b) [Verhulst, 1838, démographie]
dP/dt=a Q (1-P) – b P, dQ/dt = c P (1-Q) – d Q [Ross, 1911, malaria]
dP/dt = a P – b P Q, dQ/dt = - c Q + d P Q [Lotka, Volterra, 1920, oscillations de populations animales ou végétales]
dP[n]/dt = (n-1) a P[n-1] – n a P[n] [Yule, 1922, biologie]
dP/dt = - a P Q, dQ/dt = a P Q – b Q, dR/dt = b Q [Kermack, McKendrick, 1927, épidémiologie]
dP/dt = a P (1-P) (b + c P) [Maynard Smith, 1973, écologie]
Chaîne de Markov
P(i,j) = (N!/j!/(N-j)!) (i/N)j (1-i/N)N-j [Fisher, Wright, 1931, génétique]
Equation intégrale
P(t) = ∫a(x) P(t-x) dx [Lotka, 1911, démographie]
Equations aux dérivées partielles
dP/dt + dP/dx = - a(x) P(t,x) [McKendrick, 1926, démographie et épidémiologie]
dP/dt = a P (1-P) + b d²P/dx² [Fisher, 1937, génétique]
Pour conclure, voici trois suggestions pour des travaux dirigés.
Certains aspects de la célèbre suite “logistique” P(n+1)=a P(n) (1-P(n)) avec 0 < P(0) < 1 et 1 <a ≤ 4, qui donne lieu à une cascade de bifurcations conduisant au chaos (voir chapitre 28), peuvent être abordés en terminale. Ce modèle est un bon candidat pour faire partie de la “culture scientifique minimale” de l’époque actuelle. En effet, il ne se passe pas un jour sans que les médias ne parlent de prévisions météorologiques ou de prévisions climatiques. Or la suite “logistique” est le prototype permettant de se faire une petite idée de la difficulté de ces prévisions. C’est aussi un des rares exemples de mathématiques relativement récentes (moins de 40 ans) accessibles au lycée. En terminale, un élève devrait pouvoir programmer cette suite sur une calculatrice ou un ordinateur, observer les différents comportements suivant la valeur du paramètre r, et peut-être même programmer le dessin du diagramme de bifurcation. Il devrait pouvoir calculer les points fixes de la fonction f(x)=a x (1-x) et de la fonction f(f(x)), calculer la pente de ces fonctions en leurs points fixes, et noter le lien entre le comportement de la suite et la valeur de ces pentes.
Autre idée d’exercice beaucoup moins classique pour une classe de terminale: la suite P(n+1)=a + b P(n) + c P(n)² avec a+b+c=1, a,b,c>0, et P(0)=0. Il s’agit de la suite étudiée par Bienaymé en 1845 comme modèle pour l’extinction des noms de familles (voir chapitre 10). Les hommes sont supposés avoir zéro fils avec une probabilité a, un fils avec une probabilité b, et deux fils avec une probabilité c, de sorte que a+b+c=1. Considérons un ancêtre formant la génération 0. Son nom sera éteint à la génération 1 avec une probabilité P(1)=a. A la génération n+1, le nom sera éteint avec une probabilité P(n+1): soit l’ancêtre n’a pas eu de fils (probabilité a), soit il a eu un fils qui n’a pas de descendant n générations plus tard (probabilité b P(n)); soit il a eu deux fils dont aucun n’a de descendant n générations plus tard (probabilité c P(n)²). D’où la suite ci-dessus. Pas à pas, le professeur de terminale peut conduire l’élève à démontrer que si le nombre moyen de fils b+2c est inférieur ou égal à 1, alors P(n) tend vers 1 quand n tend vers l’infini: le nom s’éteindra sûrement. Si b+2c>1, alors P(n) tend vers a/c<1 quand n tend vers l’infini. Le nom peut s’éteindre ou pas, cela dépend du hasard. Une conclusion analogue s’obtient lorque chaque homme peut avoir jusqu’à k fils. On pourra aussi faire observer que le même modèle s’applique sans changement à d’autres problèmes, comme celui de la transmission d’un gène à des descendants, ou de la transmission d’une maladie à des camarades. Enfin, ce modèle a une histoire curieuse faite d’erreurs et de redécouvertes qui s’étend du milieu du 19ième siècle jusqu’à il y a quelques années (chapitres 10, 12 , 19 et 21)
La suite de Fibonacci, la formule explicite pour son terme général (donnée par Daniel Bernoulli en 1728), et l’image d’une pomme de pin ou d’une fleur de tournesol, pourraient aussi trouver une place en terminale (pour l’anecdote, on se souviendra que Pierre-Gilles de Gennes avait apporté une pomme de pin pour l’entrevue télévisée suivant son prix Nobel).
Table des matières du livre
1 La suite de Fibonacci (1202)
2 La table de Halley (1693)
3 Euler et la croissance géométrique des populations (1748)
4 L'équation d'Euler (1760)
5 Daniel Bernoulli et l'inoculation de la variole (1760)
6 La critique de d'Alembert (1760)
7 Sussmilch, Euler et l'ordre divin (1761)
8 Malthus et les obstacles à la croissance géometrique (1798)
9 Verhulst et l'équation logistique (1838)
10 Bienaymé et l'extinction des familles (1845)
11 Mendel et l'hérédité (1865)
12 Galton, Watson et l'extinction des familles (1873)
13 La loi de Hardy-Weinberg (1908)
14 Ross et la malaria (1911)
15 Fisher et la sélection naturelle (1922)
16 Yule et l'évolution (1924)
17 Lotka et la biologie physique (1925)
18 McKendrick et les épidémies (1926)
19 Haldane et les mutations (1927)
20 Le modèle de Fisher et Wright (1930)
21 Erlang, Steffensen et le problème de l'extinction (1930)
22 Volterra et la théorie mathématique de la lutte pour la vie (1931)
23 La diffusion des gènes (1937)
24 Lotka et la démographie (1939)
25 La matrice de Leslie (1945)
26 Percolation et épidémies (1957)
27 Théorie des jeux et évolution (1973)
28 Les populations chaotiques (1974)
29 La politique de l'enfant unique (1980)
30 Quelques problèmes contemporains
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