S’il arrivait
même en dormant . . . qu’un
géomètre inventât quelque nouvelle
démonstration, son sommeil ne
l’empêcherait pas d’être
vraie. DESCARTES, Discours de la méthode IVème
partie A. T. VI 39 (citation tirée de [1] que je
dédie à la mémoire de Laurent
Schwarz).
Le
travail qui vous est livré est le
résultat d’une réflexion qui
s’effectue
sur trois registres, philosophique, mathématique et
historique.
Par ces trois voies, il doit permettre au lecteur d’entrer
dans l’oeuvre profonde
et difficile du mathématicien Sophus Lie. Si Lie est connu
pour
les concepts fondamentaux qu’il a introduits (groupes et
algèbres de
Lie, omniprésents dans les mathématiques), on
connaît peu son oeuvre
gigantesque dans son ensemble, ses lignes directrices et ses objectifs,
et surtout son unité. C’est à ces
travaux trop vastes pour être maîtrisés,
écrits en norvégien et en allemand, que la
présentation de Joël Merker
nous introduit d’abord. Mais le lecteur qui le suivra
dépassera le
stade déjà remarquable d’une
introduction : il comprendra à quelle stratégie
d’ensemble obéit ce singulier
mathématicien qui, dans son genre,
domine la fin du 19ème
siècle ; le lecteur saisira aussi quelle
singulière
obstination et quelle forme de puissance productrice - celles
d’un mathématicien
- ont présidé au travail de Lie.
Nous voudrions présenter quelques
réflexions que suggère le genre
de travail auquel nous avons affaire. Les trois catégories
de personnages
théoriques qui occupent l’espace des recherches
qui sont présentées ici
travaillent et doivent travailler nécessairement dans la
plus étroite collaboration,
et pourtant, le statut de leurs productions les rend absolument
autonomes. Le texte philosophique possède ses
énoncés et sa cohérence
propre, comme le travail mathématique qui est
exposé et prolongé, de
la même façon que les questions
d’histoire et d’historiographie qui sont
déployées devant nous. Nous nous adresserons
successivement à ces
trois personnages.
Aux philosophes
Il est impossible de nier le lien qui existe entre philosophie
et mathématiques, lien d’une nature
extrêmement complexe. Ce
que ne fait pas la philosophie - au stade de son histoire - et ce qui
n’est pas en son pouvoir ni de son ressort : elle ne
résout pas de questions
mathématiques. Elle ne peut que décrire et
amplifier les modes
d’ouverture théorique à cette
singulière et pourtant universelle forme de
pensée que sont les mathématiques. Elle ne peut
que reproduire sur son
propre terrain de déploiement la
réflexivité qui caractérise le travail
mathématique
en profondeur. Elle produit donc un autre type de réflexion
et de réflexivité. En aucun cas comme philosophie
elle ne peut recourir
aux arguments d’autorité des résultats
produits par les mathématiques.
En revanche, le type de réflexion et de
réflexivité que les mathématiques
produisent est en mesure de permettre, et par ressemblance et par
différence, la problématisation philosophique. La
divergence se manifeste
là où la réflexivité
philosophique se replie sur elle-même et sur son
questionnement, en interrogeant par exemple, la nature des types
d’êtres
qu’elle se voit constituer, pour rejoindre de
façon particulière le corpus
philosophique de questionnements classiques qu’elle
renouvelle.
De ce point de vue, Riemann (et c’est aussi le cas
de Lie), se situe
bien en deçà, et au-delà en
même temps, des philosophies mathématiques
qui se sont développées et opposées au
début du 20ème
siècle :
le logicisme, l’intuitionnisme et le formalisme. Par
delà les fossilisations
aseptisantes auxquelles elles ont donné lieu, elles
présentaient
elles aussi dans la virtualité de leurs
déploiements et dans les développements
de leurs premiers tenants un authentique questionnement philosophique.
Entendons-nous bien : une théorie des modèles ou
même
une forme de logique peut avec intérêt pour le
mathématicien et pour
le philosophe reproduire des résultats
mathématiques sur les groupes
de transformations en ouvrant des développements dans le
cadre de la
théorie des langages formels par exemple, cela ne ferait
qu’un élément
de plus à prendre en compte pour le philosophe dans sa
réflexion.
Il est impossible de nier également le sentiment de
malaise dans lequel
la philosophie dite des mathématiques met le
mathématicien. Dans
la majorité des cas, il ne reconnaît rien, ni de
sa pratique ni de sa théorie
: les philosophes parlent de loin, dans le suave mari magno
d’une
extériorité rassurante, de
mathématiques qui ne sont que rarement difficiles,
et même quand c’est le cas, le problème
de déployer l’ouverture
qui fait la profondeur de la difficulté n’est pas
même abordé. Or la question de la
difficulté, dans la mesure où, le plus souvent,
les nodalités
névralgiques des stratégies qui mettent en jeu
des pans entiers du
corpus mathématiques s’y affrontent, est
précisément le lieu d’excellence
où la philosophie affleure dans la
mathématisation qui s’élabore.
Le mathématicien ne comprend pas, comme
mathématicien,
que l’on
puisse parler d’une mathématique
achevée. Il faut, si on veut l’interpeller
en philosophe, marcher en sa compagnie sur les cimes
escarpées de
sommets qui surplombent les abîmes.
C’est là sans doute la
difficulté que peut tenter d’affronter le
philosophe
qui cesserait d’arriver en retard, à la
tombée de la nuit. Ce n’est
pas la difficulté qui fait nécessairement valeur,
quoi qu’en ait dit, en un
autre sens, Platon (tout ce qui est difficile est beau), mais elle
restaure
une vérité des mathématiques se
faisant. Pour des raisons simples qui
tiennent à la nature de la réelle progression de
la science qui est massivement
synthétique.
À l’autre bout du spectre de cette
description, le mathématicien
ne reconnaît pas non plus ses mathématiques quand
il constate le recours,
dans une terminologie métaphysique, à une
élaboration catégorielle
qu’il perçoit comme abstraite. Il y voit, dans le
meilleur des
cas, un descriptif théorique divergent qui
s’oppose à la nécessité
qu’il
éprouve cruellement d’avancer dans
l’immensité dynamique de son
appréhension.
En même temps, je voudrais attirer l’attention sur
le très
grand nombre de textes métaphysiques dont sont remplis les
travaux
mathématiques, comme si la créativité
ne pouvait s’exercer sur ce territoire
sans s’installer métaphysiquement.
Peut-être est-ce particulièrement
frappant dans les termes de la métaphysique allemande au
cours
du 19ème siècle.
Les deux modes de discursivité sont distincts,
l’essentiel de la discursivité
mathématique se réalisant dans une argumentation
démonstrative
qui est symboliquement ou formellement transcriptible. Mais la
pensée va presque toujours au-delà du
démonstratif et du démontré.
Même en mathématiques, le problème
insiste ou subsiste au-delà de
sa solution.
Une partie de l’introduction de ce livre est
consacrée à l’installation
riemannienne. L’auteur y reprend de manière
synthétique et
conceptuelle le travail de Riemann dont il montre à quel
point il est explicitement
et philosophique et mathématique. Il le
caractérise d’une
manière qui ne peut qu’entraîner
l’adhésion des lecteurs mathématiciens
ou philosophes : l’ouverture réflexive. Et
l’ensemble de l’introduction
à Lie développe le même genre
thématique.
Je reprends deux exemples. D’abord celui des groupes
de transformations
dans leur appréhension infinitésimale. Il
s’agit du théorème
fondamental qui dit de manière surprenante que
l’intégration d’un flot
local, dans le cas analytique, revient à la sommation
d’un nombre infini
de termes différentiés (p. 110).
Les termes qui en font la description permettent de prendre
pied
sur le terrain philosophique de ce que l’auteur appelle une
« équivalence
ontologique fondamentale » entre groupe local
à un paramètre et transformation
infinitésimale. Il ajoute que cette équivalence
« s’insère plus
généralement dans
l’équivalence fonctionnelle entre le
différentiel infinitésimal
et le local fini, tout en développant les premiers
éléments
d’une théorie géométrique du
mouvement ».
Mais cette équivalence n’est pas un
principe d’égalité absolue
entre deux êtres initialement distincts, et c’est
sans doute là que gît
le point-clé de cette philosophie des
mathématiques en constitution :
« l’ontologie est interrogation en
devenir sur la structure et sur la constitution
d’un être mathématique
problématique » De ce point de vue, le
lecteur voit se déployer une ontologie
opératoire, comme sera celle à
venir de la théorie des catégories qui a
construit avec la théorie des
foncteurs, ce que l’auteur désigne ici. Mais il
s’y ajoute aussi l’énoncé
de modes d’être que le commentateur
mathématicien fait apparaître au
philosophe. La formule employée par l’auteur,
formule qui se rapporte
au type d’équivalence posée par des
théorèmes comme celui-ci, est la
suivante : « l’équivalence, en
mathématiques, transcende tout concept
logique ou méta-mathématique de termes formels
syntaxiquement substituables
». Une équivalence de ce genre est
posée par exemple par la
transformée de Fourier quand elle passe du
différentiel au polynomial,
ou par le mouvement de transfert de problèmes qui est
réalisé par les
transformations intégrales, lesquelles permettent de
reconstituer les problèmes
en en fournissant des équivalents dans l’un des
autres secteurs
des mathématiques.
La logique, syntaxiquement entendue, fait perdre la
normativité
intrinsèque de la théorie se construisant. Mais
il faut ajouter que son
objectif n’est pas initialement de capter cette
normativité ; plus précisément,
elle établit une autre forme de prescription, surtout si
elle se
constitue de l’extérieur. Dans ses
développements plus récents, elle s’est
pourtant dirigée vers une nouvelle intégration de
la dynamique du travail
mathématique comme le fait e.g. la logique
linéaire développée
par J.-Y. Girard. La terminologie conceptuelle qui analyse la
mathématique
en train de se faire se doit alors de faire surgir, depuis
l’apparence métaphorique qu’elle
revêt, la force d’entraînement
réflexif par laquelle
elle établit la nouvelle synthèse. Comme le dit
l’auteur : « dans
l’équivalence,
il doit se manifester un différentiel-synthétique
du potentiel interrogatif,
comme par l’effet d’une
révélation progressive qui autoriserait
à oublier presque définitivement le membre
initial de l’‘équivalence’
pour ne retenir que le membre final [ces opérations sont
thématisées en
théorie des catégories par le foncteur
d’oubli par exemple] plus rapproché,
bien que peut-être encore fort éloigné,
de l’essence de la chose à
comprendre ».
Un autre concept que l’auteur utilise, et que nous
commençons
à mettre au centre de mécanismes de
compréhension physicomathématique,
est celui de brisure de symétrie. Il est
lui aussi l’effet
d’une absorption par le langage conceptuel
mathématique de phénomènes
de la physique théorique que nous pouvons de la sorte mettre
au
poste d’observateur-clé du déploiement
mathématique, par exemple de
la théorie essentielle de Galois. Galois, en concentrant
notre attention
sur la symétrie des racines d’un
polynôme qu’il met sous observation,
met en place une procédure de brisure de leur
symétrie.
Dans l’équivalence dont
l’auteur nous propose le concept, nous
effectuons également une brisure de
symétrie : le concept de transformation
infinitésimale « élimine »
en quelque sorte le concept de groupe
local à un paramètre, pour s’y
substituer comme objet d’étude principal.
De cette façon, nous concevons la stratégie de
Lie : mettre entre parenthèses
l’intervention de l’analyse comme
procédé d’intégration pour
se
concentrer seulement sur la classification des transformations
infinitésimales.
On peut alors saisir ce qui de l’infinitésimal
permet de comprendre
qu’il devienne le concept moteur : il est
linéaire. Il serait alors
possible de comprendre la manière dont ce thème
et ce système de compréhension
qu’est le linéaire jouent un rôle
central. Et de comprendre
aussi que le différentiel installe le linéaire,
et de suivre une réflexion
sur le linéaire dans le déploiement
mathématique. C’est bien la manière
dont il nous faut comprendre la notion même de
développement en série.
En nous plaçant explicitement sur le terrain de
l’immanence philosophique,
nous parvenons à établir des liens conceptuels
avec le spéculatif
mathématique que construisent Lie et Engel.
L’auteur remarque (p. 117) que toute question
spéculative qui apparaît
« naturellement » est
traitée par Engel et Lie au moment approprié,
dans le continu du déploiement de la théorie.
J’en tire qu’il existe un moment
nécessaire, dans cette production mathématique,
où une réflexion
spéculative surgit. S’agit-il d’un
excès nécessaire, d’une couche
de pensée qui dépasse
l’enchaînement des théorèmes
? Et l’auteur d’en
conclure : « s’il existe une
systématique du questionnement, c’est dans
les mathématiques d’inspiration riemannienne qui
se sont développées
pendant la deuxième moitié du 19ème
siècle qu’il faut en trouver les
racines, bien avant que l’axiomatique formelle du 20ème
siècle ne l’enfouisse
sous des strates de reconstitution a posteriori et non ouvertement
problématisante ».
C’est pourquoi il nous faut comprendre sous un autre
jour la nature de la théorie hilbertienne qui vient en un
sens mettre un
terme à ce style de mathématiques.
Aux
mathématiciens
Un des principes mathématiques testé ici
est celui
de l’introduction de la géométrie dans
l’infinitésimal (il s’agit
d’un
mouvement historique datant du 18ème
siècle mais qui s’est érigé
en
principe). Joël Merker analyse en détail les
mathématiques impliquées
par ce principe, et de ce fait, en quoi a consisté
l’erreur de Helmholtz.
Cette remarquable erreur apparaît clairement
présentée par l’auteur et
nous plonge au coeur de la théorie : « Engel
et Lie montrent combien
il est périlleux d’extrapoler les axiomes
supposés valides dans des régions
locales d’extension finie au sujet du comportement de points
qui
sont infiniment proches les uns des autres »
(p. 66). Cette réflexion sera
approfondie dans une théorie puissante des faisceaux qui
reprend cette
question à travers le concept de cohérence.
Une deuxième idée dont Lie reste
métaphysiquement persuadé et
dont les philosophes ne peuvent rendre compte : l’analogie de
sa théorie
des groupes continus finis de transformations avec la
théorie des
groupes finis de substitutions. C’est une croyance
rationnelle qui peut
être appellée métaphysique, car elle
construit une double polarité entre
une exigence à développer de façon
très précise, et elle se trouve de plus
enracinée dans le socle des actions de groupe.
L’intérêt de
l’étude d’un texte historique qui a pris
place dans l’histoire
est également purement mathématique. Prenons le
cas des virtualités.
Un des objectifs de l’étude d’un texte
mathématique qui a produit
ses effets dans l’histoire réelle du
développement des mathématiques est
d’en reconstruire les modes d’effectuation et de
compréhension. Mais
il suppose toujours que ces textes (leur contenu
d’information, comme
le dit Alain Connes) ne sont jamais épuisés.
L’histoire réelle a fait des
choix transformant une contingence donnée en
nécessité a posteriori,
de l’après coup. Mais si cet
irréversible est scellé, rien n’indique
qu’il
soit unique. Et comme le montre l’auteur, il est possible et
sans doute nécessaire de développer
d’autres mathématiques à
côté de celles qui
l’ont été. Dans nombre
d’endroits de son analyse, l’auteur entrant dans
la pensée de Lie en fournit
précisément d’autres prolongements, qui
effectuent
des trajectoires nouvelles, laissant voir ce que cette
création
nouvelle appelle.
Il n’y a donc pas, redisons-le, de
théorie morte, parce qu’il n’y
a pas au cours de l’histoire de théorie qui
s’isolerait de l’ensemble des
théories mathématiques. D’où
ces retours maintes fois notés dans la pratique
mathématique de méthodes
réactualisées. Un résultat
sédimenté
est repris dans l’horizon du système ouvert de
médiations possibles dans
lequel est offerte toute idéalité ([1],
p. 112).
De plus, un travail comme celui-ci met en évidence
deux caractéristiques
conceptuelles essentielles du corpus mathématique : sa
puissance
architectonique. C’est sans doute un des
faits saillants de l’histoire
des mathématiques du 20ème
siècle d’avoir traité cette architectonique
comme telle (Grothendieck, H. Cartan, Serre par exemple), ce qui
se vérifie dans les nouvelles structures, les chemins
transversaux, les trajectoires
inter-disciplinaires, les nouvelles unités disciplinaires
que les
oeuvres ont fait apparaître, et en même temps son
aspect labyrinthique,
c’est-à-dire le fait que des résultats
un temps silencieux puissent ressurgir
par des voies imprévues, des théorèmes
se trouver redémontrés
dans un autre cadre et acquérir de nouvelles significations.
De nouvelles
contemporanéités sont mises en place.
Le plus souvent, la philosophie des mathématiques
officielle laisse
malheureusement échapper ces faits qui sont de ceux qui
parlent le plus
aux mathématiciens. Je choisis par exemple la
manière dont Grothendieck,
reprenant l’analogie constatée entre la
théorie de Galois algébrique
et la topologie algébrique de Poincaré
(théorie des revêtements
et groupe de Poincaré), construit le concept de cette
analogie à travers
la théorie des catégories et invente la
théorie du foncteur fibre.
Aux historiens des
mathématiques
Il est d’une évidence cruelle que
toute élaboration philosophique ou mathématique
portant sur un texte
historiquement daté doit se soumettre au critère
de son historicité, si
un tel critère existe ; s’il n’existe
pas, il faut le faire surgir. L’histoire
suppose de ce point de vue que l’on puisse produire une mise
à distance
suffisante du texte à l’étude, pour en
discerner
la spécificité. Le
dépaysement construit de la sorte se propose toujours comme
objectif
de ressaisir les formes mathématiques qui ont
donné sens au résultat
dont on construit l’histoire.
Mais c’est de la spécificité
de cette mathématique qu’il s’agit. Et
il
n’est pas d’histoire des mathématiques
sans hypothèses philosophiques
explicites, ou implicites, sans choix
d’interprétation, sans valorisation
épistémologique. De ce point de vue, de telles
hypothèses doivent pouvoir
passer par le crible de l’argumentation philosophique. Mais
il est
d’une nécessité absolue que
l’historien comprenne et conçoive les
mathématiques
qu’il situe dans une histoire. Et c’est du coeur
des mathématiques
que cette compréhension doit surgir. Et il est à
la limite possible
qu’une explication historique ou revendiquée comme
telle induise une
compréhension mathématique
précisément parce qu’elle se sera
insérée
dans une nouvelle trajectoire interne aux mathématiques.
Comment
l’historien sait-il qu’il comprend ? Comme tout
mathématicien qui sait
qu’il comprend, pas seulement par
l’expérience du vrai, mais parce que
ce savoir est à des niveaux différents savoir de
lui-même : verum index
sui. C’est ensuite que les modalités du
vrai et de l’accès au vrai peuvent
être extrêmement différentes.
Il est nombre de travaux mathématiques historiques
qui butent sur
les questions classiques et aporétiques des bons choix de
récurrence.
Les réponses ne peuvent se chercher et se trouver que dans
la compréhension
mathématique explicite de leur objet
d’étude. Mais ce point
mérite lui aussi quelques précisions.
Le devenir mathématique apparaît
d’abord comme autonome et endogène.
Cette caractérisation implique, comme je
l’ai dit ci-dessus, tous
les travaux historiques qui semblent aller dans le sens des
déterminations
extérieures. Elle ne s’y oppose nullement, mais un
objet, un théorème,
une théorie ne sont tels que dès lors
qu’ils ont été installés
dans
le devenir immanent des mathématiques. Du ressort
d’une causalité occasionnelle
indispensable, les demandes extérieures, les formes
institutionnelles
nécessaires et contingentes, les exigences de la vie
courante
ne peuvent expliquer un devenir mathématique que si elles
ont été reprises
et installées dans le corpus pour ne plus se voir et se
comprendre
que comme déduites de, ou construites à partir de
ce dernier. Et de ce
fait, ces déterminations sont complètement
transformées. Au cours de
ce développement, les mathématiques, les
méthodes acquièrent puissance
à l’égard de leurs objets. Elles
reprennent leurs acquis. Le devenir
déploie une circularité de renvois des objets aux
actes et des actes aux
objets.
Ni découverte, ni invention. Ni succession
d’inventions ni succession
de découvertes. Une innovation introduit un nouveau
système de relations, certaines entre des domaines qui ne
paraissaient pas interconnectés,
le champ thématique peut s’en trouver
structuralement modifié.
Une synthèse nouvelle apparaît qui
réveille des relations anciennes entre
des potentiels d’idéalités ; alors
cette exploration que la situation induit
peut faire penser l’historien qui se met au travail
à la constatation qu’il
a affaire à une découverte. Mais elle
n’est là que parce que le mathématicien
a inventé cette insertion inattendue devenue alors
nécessaire.
Riemann, Lebesgue et Archimède sont soudain devenus voisins,
tout
comme Gromov et Eudoxe.
Aux philosophes, encore
Riemann pratique la philosophie : Joël Merker
reprend minutieusement l’analyse riemannienne de Herbart, et
la
stratégie philosophique que Riemann en tire,
stratégie et pour la philosophie
et pour les mathématiques. Le lecteur découvrira
ici la construction
conceptuelle de Riemann qui se déploie comme un
écho anticipateur
de ses mathématiques. La réflexion philosophique
est chez
Riemann autonome, elle se produit pour elle-même, mais
c’est alors
qu’elle parle aux mathématiques et parle des
mathématiques. Il faut
que nos philosophes cessent d’avoir peur des
métaphores contrôlées.
Ce sont elles qui font avancer la philosophie entièrement
imprégnée de
mathématiques. Le fait qu’il en soit ainsi doit
faire comprendre et au
philosophe et au mathématicien la situation topologique des
deux disciplines.
Dussé-je me répéter, c’est
cette situation qui permet précisément
à la création mathématique de se
développer de manière autonome, et
d’autre part, à la méditation
philosophique de se retrouver pour progresser.
Quand Herbart souligne le besoin professionnel
éprouvé par le mathématicien
de dévoiler l’esprit de ses formules, il veut
indiquer le caractère
essentiellement réflexif de ses formules et de sa pratique
mathématique.
La philosophie absorbe le mouvement de la mathématique et
ses sinuosités, c’est par exemple le cas pour le
différentiel.
Joël Merker insiste beaucoup sur ce qu’il appelle la
stratégie de
l’ouverture riemannienne. C’est dans cette
position-là que l’on doit
comprendre les mathématiques du 19ème
siècle et leur identification partielle
avec la philosophie.
L’ouverture constante de
l’irréversible synthétique :
j’insiste sur
cette expression d’abord du synthétique,
c’est-à-dire une concentration
unifiée de propriétés
mathématiques, par opposition à
l’analytique la
philosophie des mathématiques se déploie dans les
domaines que les
constructions mathématiques réalisent pour les
réexprimer, les prolonger,
reproduire un système de bifurcations. Cette terminologie si
proche de la pratique mathématique elle-même en
est absolument distincte et
je dirai que c’est sa proximité qui mesure sa
distinction.
Aux
mathématiciens, aux historiens des
mathématiques et aux philosophes
Notre auteur met en évidence de façon
particulièrement aiguë,
le fait que des principes gouvernent la pensée de Lie. Le
lecteur
qui le suivra verra combien Lie et Engel pensent de manière
à éviter
les formes parasites d’un formalisme et comment cette
stratégie conditionne
à bien des égards leur possibilité
productrice. Je voudrais reprendre
en n’extrayant que quelques aspects de la riche analyse
proposée.
Joël Merker reconstruit un trajet fondamental de la
démonstration
de Lie d’un théorème difficile. Ce
trajet se clôt à la fin du Chapitre 9 du
Volume I de la Theorie der Transformationsgruppen
par le
Théorème
26 (p. 153) dont la démonstration longue et difficile est
exposée et clarifiée
par l’auteur. Grâce à ce
théorème, Lie et Engel sont en mesure
d’identifier systématiquement tout groupe continu
de transformations :
$\displaystyle{x_{i}^{\prime}=f_{i}(x_{1},...,x_{n};a_{1},...,a_{r})~~~~(i=1,...,n))$
à une collection de transformations
infinitésimales linéairement
indépendantes :
$X_{k}(f)= \sum_{i=1}^{n}\xi_{k}(x_{1},...,x_{n})\frac{\partial
f}{\partial x_{i}}~~~(k=1,...,r)$
dont les coefficients sont analytiques (réels ou complexes)
et qui est
linéairement fermée par crochets :
$[X_{j},X_{k}]=\sum_{s=1}^{r}c_{j,k}^{s}X_{s}~~~~(j,k=1,...,r)}
les $c_{j,k}^{s}$ étant des constantes. Je
caractériserai le bilan de trois points de
vue.
Mathématiquement, le
résultat consiste à montrer comment
caractériser
un groupe local par linéarisation de ses
caractéristiques, du fait
que le groupe est identifié à ses
générateurs infinitésimaux.
Philosophiquement, on comprend que le
travail du mathématicien
a consisté à métamorphoser
l’être mathématiques initial.
« La connaissance
mathématique initialement indécise et
problématique peut à présent
se décider à réenvisager
l’objet « groupe continu » —
maintenant
moins opaque — sous un angle absolument neuf : celui
des transformations
infinitésimales, plus riches de virtualités et de
manipulations
possibles ». La production
mathématique procède par construction de
synthèses qui ouvrent davantage. On peut aller plus loin
dans l’analyse
et se demander alors ce que comporte le concept de groupe continu,
autrement dit de quel type de synthèse de connaissances il
procède. Si,
dans la production, les points de départ
s’effacent, transposés et transformés
qu’ils sont, ils ne cessent en réalité
jamais d’agir, au point qu’il
est parfois possible de les voir ressurgir. A cette occasion, se
reposent
les questions des relations entre l’algèbre et la
géométrie et de la nature
de l’algèbre linéaire.
Historiquement, de nombreuses questions
s’ouvrent qui sont liées
aux rapports entre les chemins conceptuels
déterminés par les mathématiciens
sous la forme des synthèses mathématiques
inscrites dans le
corpus qui les sanctionnent, et les parcours réels qui les
ont précédés ou
même déterminés.
Une des questions posée sur les trois modes est
celle de la nature
de la pratique de classification induite par le travail de
Lie ;
l’auteur
nous fournit de nombreux éléments de
réponse.
La question de la
genèse
L’une de ses modalités est
l’analyse dont on
dispose de ce qu’on pourrait appeler la
théorisation. On doit la voir dans
la terminologie utilisée comme l’induction,
après une fermeture, d’une
exigence d’ouverture vers les possibilités
enfouies dans des horizons
théoriques qui sont posés ensemble, capables de
susciter un nouveau
déploiement du chantier immanent de construction.
Joël Merker use comme tout philosophe, comme tout
philosophe
des mathématiques et comme la plupart des
mathématiciens qu’il analyse,
de métaphores spatiales. Sans vouloir épuiser
l’analyse du problème
posé par cet usage, je proposerai les remarques suivantes.
Je peux
noter des expressions comme « strates »,
« couches »,
« ouverture »,
« irréversible »,
« intérieur/extérieur ».
Il est vrai qu’elles relèvent souvent
du registre de la géométrie et de la topologie.
Mais ces métaphores sont portées par la
mise en forme d’analyses
philosophiques fondées de l’organisation
théorique. Si on met l’accent
sur l’exigence de successivité, on peut y voir des
analyses inspirées par,
et remises en forme par la phénoménologie. Ainsi
peut-on pour débuter
ces analyses reprendre des expressions conceptuelles de J.-T. Desanti
([2]) comme celles de « pôle
d’idéalité »,
le concept de pôle renvoyant
à une direction vers un domaine dans lequel un concept prend
sens. Ce
domaine peut apparaître plus naturel, comme lieu de
synthèses inachevées.
Mais à côté du niveau de
naturalité qui est en général le
premier
niveau d’une théorie apparemment plus simple ou
plus géométrique, à
côté de ce niveau, il existe un niveau
idéal grâce auquel se manifestent les exigences
démonstratives, et les autres formes théoriques,
ou même
de disciplines du corpus, qui sont invoquées. Le champ
réflexif, c’est-àdire
l’ensemble des éléments de
réflexion que nous devonsmobiliser, est
muni d’une direction où chaque point est
l’unité d’un pôle
d’actualités
et de ses potentialités duales. Ainsi en est-il
également du concept d’horizon,
comme position d’un environnement implicite au bord de toute
théorie ou de tout objet mathématique
explicitement posés reflétant la
part d’implicite qui accompagne tout geste
mathématique. Dans toutes
ces considérations, il s’agit d’aborder
la question si complexe des stratifications
de couches théoriques qui constituent le corpus
mathématique.
Il faut encore tenir compte du fait que la réflexion
s’exerce dans l’unité
d’une norme et d’un inachèvement, comme
le disait le même auteur.
Et surtout, dans ces analyses, il s’agit de ne pas
dresser de barrière
entre théories en voie de constitution et
théories considérées comme
constituées. Elles ne se comportent pas
différemment, même si la métaphore
facile du « chantier de
théorisation » peut venir sous
la plume
([1], p. 87).
Une théorie enveloppe toujours un
système de formations idéales
(règles opératoires, prescriptions logiques)
capables d’assurer les positions
d’objets idéaux et d’orienter vers des
enchaînements explicites, et
en même temps un système d’exigences qui
renvoient à des possibilités
de nouer des relations dont la thématisation alimentera la
théorie d’un
objet mis en question.
Une théorie comme système ouvert
d’énoncés ne peut être saisie
comme une totalité achevée, son unité
est thématique ; elle ne saurait
non plus être saisie de l’extérieur, en
vertu de l’ordre inhérent à la
suite théorématique elle-même. Mais
cette intériorité n’est pas non plus
assurée en vertu des possibilités toujours
ouvertes de l’interconnexion
entre les théories mathématiques
elles-mêmes. Ce qui ne veut point dire
qu’elle ne comporte pas ce que j’appellerai des
couches ou des strates
d’achèvement. Une classification peut
être achevée, comme un résultat.
Tel est le cas des classifications des groupes, tel est le cas des
travaux
admirables de Lie. Les théories ne peuvent être
saisies que comme unité
vivante de toutes les synthèses qu’elles ont
produites. Mais les formes
de propagation de ces résultats repotentialise
l’intention initiale parfois,
la démultiplie selon de subtiles modalités,
d’autres fois. La théorie des
groupes et des algèbres de Lie s’est ainsi
reconstruite à travers les théories
cohomologiques et de nouvelles questions ont ouvert des espaces de
connexion avec d’innombrables potentialités. On a
considéré des situations
où un groupe agit sur un espace topologique et on essaie de
mesurer
les possibilités de cette action en cherchant à
obtenir des classes
de cohomologie modulo cette action ou des classes qui contiennent des
informations sur cette action. On sait que par une sorte de
réenveloppement,
il s’est d’abord agi de voir les
opérations de groupe à travers
des structures de différentiabilité qui en font
des variétés. Puis on s’est
intéressé aux opérations
d’algèbre de Lie sur une algèbre
différentielle
(graduée commutative). Lie avait ouvert la voie
d’exploration des opérations
de la pensée qui plongent dans
l’algébrisation du différentiel et
du continu. C’est cette thématique qui ne cesse
d’être réactualisée
à
travers des couches complexes de structures réflexives qui
les hiérarchisent
parfois ou les diffractent selon des organisations en cascade qui
ne demandent qu’à faire le matériau
pour de nouvelles virtualités philosophiques
et de nouveaux philosophes.
Si j’ai insisté sur ce qui me semble
nécessaire pour qu’une philosophie
des mathématiques se redéploie plus proche des
mathématiques
réelles, il n’en reste pas moins que des questions
comme celle de l’objectivité,
de la vérité, continuent de faire le fond de la
réflexion philosophique.
Alain Connes a proposé trois critères
d’objectivité des mathématiques
(cf. [1], pp. 134–135).
- La possibilité de classer exhaustivement les
objets définis par une
axiomatique qui témoignerait de l’existence de
contraintes objectives
par lesquelles les univers des possibles seraient
nécessités. C’est cette
possibilité que déploient Lie et Engel et que
Joël Merker prolonge après
l’avoir admirablement problématisée. La
question dominante pour Lie
dans la théorie qu’il a
érigée était de classifier
à équivalence près tous
les groupes de transformation possibles.
- La cohérence et l’harmonie
inter-théoriques globales des théories
mathématiques attestées par les faits
d’intertraductibilité, ce qui témoigne
pour l’unité des mathématiques,
laquelle d’ailleurs ne saurait
être conçue comme une possibilité de
les réduire à un calcul unique.
C’est ce caractère architectonique en soi de
l’ensemble du corpus mathématique
que développent la théorie des
catégories et l’œuvre
de Grothendieck.
C’est aussi cet aspect qui commence avec les
mathématiques
du 19ème siècle et que Lie
réassume.
- Le fait que les théories mathématiques
intéressantes ont un
contenu informationnel infini. De ce point de vue, aucun objet
mathématique
ne restera en repos. La reprise caractérise la progression
et son caractère labyrinthique et imprévisble.
Aucun autre système symbolique
ne satisfait ces critères.
Au lecteur de refaire cette expérience unique, en
entrant dans cette
œuvre unique !
Références
[1] Caveing, Maurice,
Le problème des objets dans
la
pensée mathématique, Paris, Librairie
philosophique J. Vrin, 2004, 286 pp.
[2] Desanti, J.-T.,
Les idéalités
mathématiques, Paris, Le Seuil, 1968.
