Quelques opérateurs importants

Champ scalaire et champ de vecteurs

Un champ scalaire sur ${\bf R}^n$ est tout simplement une application de cet espace dans $\R$ ("on associe à tout point de l'espace une grandeur scalaire".)

Définir un champ de vecteurs de ${\bf R}^n$ , c'est associer à tout point $(x_1,\dots,x_n)$ un vecteur $\vec{v}=(v_1,\dots,v_n)$ de ${\bf R}^n$ .

Physiquement, cela consiste à imaginer que l'espace ${\bf R}^n$ est empli par un fluide animé par un courant et qu'à chaque point on associe le vecteur vitesse du courant en ce point.

Divergence d'un champ de vecteurs

Considérons un champs de vecteurs $\vec{v}$ différentiable de ${\bf R}^n$ , alors sa divergence est le champ scalaire défini par

$div \vec{v}:=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_i}$

(Pour la définition des dérivées partielles, cliquer ici.)

Intuitivement, cet opérateur évalué en un point x permet de dire si le champ de vecteur, au voisinage de x, se rapproche ou s'éloigne de x, en moyenne.

Gradient d'un champ scalaire

Considérons un champ scalaire continûment dérivable c sur ${\bf R}^n$ , alors son gradient est le champ de vecteurs défini par

$\nabla c:=(\frac{\partial c}{\partial x_1},\frac{\partial c}{\partial x_n}, \cdots,\frac{\partial c}{\partial x_n})$

Intuitivement, en voyant le champ c comme la concentration d'un produit dans l'espace, le gradient de c en un point xnous indique la direction vers laquelle, en moyenne, cette concentration augmente.

Laplacien d'un champ scalaire

Le laplacien $\Delta c$ d'un champ scalaire continûment dérivable c est égal à la divergence de son gradient. C'est donc aussi un champ scalaire.

Techniquement, il est égal à

$\Delta c=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2 c}{\partial x_i^2}$

C'est le plus courant des opérateurs d'ordre supérieur à 1,et il apparaît dans des équations aux dérivées partielles importantes (équation de Laplace, équation de la chaleur, etc...).