Le Rubik's cube, Groupe de poche

Pour une meilleure compréhension des transformations utilisées dans l'article "Le Rubik's cube, groupe de poche" de Pierre Colmez, le lecteur est vivement le invité à utiliser le logiciel libre Arcus qui est un simulateur du Rubik's Cube.

Pour cela il faut se rendre sur la page http://sourceforge.net/projects/arcus Puis télécharger (gratuitement) le programme Arcus et l'installer.

Arcus fonctionne avec Java Runtime Environment. Dans le cas où l'environnement Java n'est pas déjà installé, le lecteur trouvera ce programme sur la page  http://java.com/en/download/.


Le lecteur lisant l'anglais trouvera toutes les informations utiles au maniement de ce programme de simulation dans la rubrique  "Manual" sur la page http://arcus.sourceforge.net/manual.html.


Dans le cas contraire, nous allons préciser les instructions de bases qui permettent de le faire fonctionner.

Initialisation

Dans la première fenêtre intitulée "Arcus", selectionner "File", puis "New Instance".


Trois autres fenêtres s'ouvrent :

- L'une est intitulée "Display" où se trouve le Rubik's cube, que l'on peut manipuler avec le bouton gauche de la souris.

- la seconde intitulée "Console" permet de piloter le Rubik's cube en proposant une série de rotations.

- la troisième intitulée "History" garde en mémoire toutes les transformations effectuées sur le Rubik.

Modifier le nom des faces

Il est préférable de modifier le nom des faces afin de respecter les conventions de l'article.

Pour cela, dans la fenêtre "Arcus",  sélectionner "Tools" puis "Preferences" et "Console".

Pour faire afficher les noms des faces sur le cube, sélectionner la fenêtre du Rubik (ou cliquer dessus) et taper sur la barre d'espace.

Manipulation virtuelle du Rubik

- Il est possible d'opérer des rotations de tranches directement avec le bouton droit de la souris. Pour cela maintenir pressé le bouton droit de la souris et parcourir les petits carrés formant un coin d'une tranche, dans le sens de rotation souhaitée.


- A l'aide de la "Console" 

Les rotations de tranche de 90° dans le sens horaire portent les noms des faces correspondantes a, b, c, d, e, f.

On peut définir dans la fenêtre Arcus / Tools / Preferences/  (Cf. images ci-dessus) le symbole qui permettra de nommer une rotation dans le sens trigonométrique.

a' est le nom de la rotation de 90° dans sens trigonométrique de la tranche de face a.

Remarque: nous choisissons de ne pas modifier la notation initiale car le logiciel ne nous permet pas  la notation a^-1 utilisée dans l'article.

Les transformations élémentaires de l'article

Mise en place des bords

La mise en place des bords utilise l’élément (a²b)⁵ de Rub et ses conjugués. Nous avons admis que "cet élément a pour vertu d’échanger y_ac et y_ad  en échangeant les faces a, et de laisser fixes les autres bords.

Testons cela à partir de la position initiale ( Rubik's cube résolu - une seule couleur par face) proposée par le logociel Arcus.


Les couleurs dans la configuration initiale sont :

Dans cette configuration initiale on a donc :


y_ad  = bord "blanc-bleu" et y_ac = bord "blanc-vert"

Ouvrir la fenêtre "Console" et saisir (ba2)5 puis valider.





Remarque: le simulateur n'interprête pas la notation mathématique de la composition; il faut donc écrire les composées dans le sens inverse.


On peut alors vérifier que les deux bords y_ad  = bord "blanc-bleu"  et y_ac= bord "blanc-vert" ont été échangés et que les autres bords sont laissés fixes par cette transformation.

Orientations de bords

Nous avons admis que  "la transformation d²fbd ⁻¹ retourne y_ad et laisse fixe y_ac."

De nouveau testons cela à partir du Rubik résolu. Pour cela ouvrir un nouveau cube (Cube 2)  dans la première fenêtre intitulée "Arcus", en selectionnant "File", puis "New Instance". Puis sélectionner "Cube 2" et appuyer sur la barre d'espace pour faire apparaître les noms des faces.
 

De nouveau les couleurs des faces dans la configuration initiale sont :

Dans cette configuration initiale on a donc :  

y_ad = bord "blanc-bleu"  et y_ac = bord "blanc-vert"


Ouvrir la fenêtre "Console", et sélectionner "Cube 2" puis saisir d'bfd2 et valider.





On constate que le bord en y_ac est resté fixe (bord "blanc-vert") et le bord "blanc-bleu" (qui était en y_ad ) a simplement été retourné.

Mise en place des coins

La mise en place des coins utilise l’élément (b⁻¹a⁻¹ba)³ de Rub. Nous avons admis que "cet élément a pour vertu de fixer les bords, et d’échanger les coins x_abc et x_fcb (en échangeant les faces a et f) ainsi que les coins x_adb et  x_dae (en échangeant les faces b et e), tout en laissant fixes les autres."

De nouveau testons cela à partir du Rubik résolu. Pour cela ouvrir un nouveau cube (Cube 3)  dans la première fenêtre intitulée "Arcus", en selectionnant "File", puis "New Instance". Puis sélectionner "Cube 3" et appuyer sur la barre d'espace pour faire apparaître les noms des faces.

De nouveau les couleurs des faces dans la configuration initiale sont :

Dans cette configuration initiale on a donc :

x_{abc =} coin "blanc-rouge-vert"      x_{fcb =}  coin "jaune-vert-rouge"

x_adb = coin "blanc-bleu-rouge"     x_dae = coin "bleu-blanc-orange"

Ouvrir la fenêtre "Console", selectionner "Cube 3" et saisir (aba'b')3 puis valider.





On constate que cette transformation laisse fixe les 8 bords.

- On voit que le coin "blanc-rouge-vert" (qui était en x_abc) est devenu le coin x_fcb. De plus la face a du coin x_abc (blanc) s'est positionnée sur la face f.  
- On voit que le coin "jaune-vert-rouge" (qui était en  x_fcb ) est devenu le coin x_abc. De plus la face f du coin x_fcb (jaune) s'est positionnée sur la face a.  

- On voit que le coin "blanc-bleu-rouge" (qui était en  x_adb ) est devenu le coin x_dae. De plus la face b du coin x_adb (rouge) s'est positionnée sur la face e.  
- On voit que le coin "bleu-blanc-orange (qui était en  x_dae ) est devenu le coin x_adb.De plus la face e du coin x_dae (orange) s'est positionnée sur la face b.  

Orientation des coins

Dans le Lemme 10 (Encart 4) il est dit que " ede⁻¹d⁻¹e laisse fixe x_abc, x_fcb et x_adb, et fait tourner x_dae d’un tiers de tour".

De nouveau testons cela à partir du Rubik résolu. Pour cela ouvrir un nouveau cube (Cube 4)  dans la première fenêtre intitulée "Arcus", en selectionnant "File", puis "New Instance". Puis sélectionner "Cube 4" et appuyer sur la barre d'espace pour faire apparaître les noms des faces.

De nouveau les couleurs des faces dans la configuration initiale sont :

Dans cette configuration initiale on a donc :

x_{abc =} coin "blanc-rouge-vert"      x_{fcb =}  coin "jaune-vert-rouge"

x_adb = coin "blanc-bleu-rouge"     x_dae = coin "bleu-gris-orange"


Ouvrir la fenêtre "Console", selectionner "Cube 4" et saisir ed'e'de, puis valider.





- On constate que cette transformation fixe les coins qui sont en x_abc, x_fcb  et x_adb.

-  Le coin "bleu-gris-orange" reste en x_dae mais tourne d'un tiers de tour (dans le sens des aiguilles d'une montre) amenant la face a (blanc) sur la face e.