Démonstration. — On constate que ede−1d−1e
laisse fixe xabc, xfcb et xadb, et fait tourner
xdaed’un
tiers de tour (voir Simulateur - Orientations des coins). Comme (b−1a−1ba)3 est un
élément de Rub
∩ GX
qui échange les
coins xabc et xfcb ainsi que les
coins xadb et xaed, tout en laissant fixe les
autres (voir Simulateur - Mise en place des coins), il s’ensuit que (b−1a−1ba)3(ede−1d−1e)(b−1a−1ba)3(ede−1d−1e)−1
est un élément de Rub ∩ ker πY
qui fixe
tous les
coins sauf xdaeet xadb, qu’il
fait tourner chacun d’un tiers de tour (dans des sens
différents,
puisque son image par rtX
est nulle).
Autrement dit, si on note x1
et x2
les coins xabd et xdae, cet
élément est
l’élément (nx)x
∈ X de Rot0X
avec nx = 0 si x
∉ {x1,
x2},
et nx1
+ nx2
= 0 et nx1
≠ 0. Comme
l’action de Rub sur X est 4-transitive, et donc a fortiori
2-transitive, et comme ghg−1
= (n'x)x
∈ X, avec n'x = ng·x,
si h = (nx)x
∈ X,
il en résulte que Rub
∩ Rot0X
contient tous les éléments du type ci-dessus,
et comme ceux-ci forment une famille génératrice
de Rot0X, on
a Rub
∩ Rot0X = Rot0X. Ceci permet de conclure.