Lemme 9. — L’image de Rub ∩ G_X dans Perm_X est le sous-groupe Alt_X des permutations de signature 1.

Résultat intermédiaire.  — Si x₁, x₂, x₃, x₄ et  x'₁, x'₂, x'₃, x'₄ sont deux familles de quatre éléments distincts de X, il existe g ∈ Rub tel que π_X(g)· x_i = x'_i, pour i = 1, 2, 3, 4. (*)

Preuve. — Il suffit de prouver que l’on peut passer de n’importe quelle famille à une famille fixe, par exemple x_abc, x_fcb, x_adb, x_dae : en effet, si g · x₁ = x_abc, g · x₂ = x_fcb, g · x₃ = x_adb,
g · x_4; = x_dae et g' · x'₁ = x_abc, g' · x'₂ = x_fcb, g' · x'₃ = x_adb, g' · x'₄ = x_dae alors ((g')⁻¹g) · x_i = x'_i, pour i = 1, 2, 3, 4.


Il est très facile d’amener deux coins quelconques sur x_abc et x_fcb, et comme d et e fixent x_abc et x_fcb, on est ramené à prouver que si x ≠ x' sont deux coins distincts de x_abc et x_fcb, il existe un élément g du sous-groupe G_d,e de Rub engendré par d et e tel que g · x = x_adb et g · x' = x_dae.

Or il existe h ∈ G_d,e tel que h · x = x_adb, et il y a trois cas :

• h · x' = x_ade, et on prend g = h,
• h · x' = x_bdf , et on prend g = d⁻¹h,
• h · x' n’est pas sur la face b ; il existe alors k tel que e^k · (h · x') = x_ade, et on prend g = e^kh.

Ceci permet de conclure.


Preuve du Lemme 9. — L’image est incluse dans Alt_X car Rub est inclus dans le noyau de ε et qu’un élément de G_X induit l’identité sur Y. Par ailleurs, les propriétés de (b⁻¹a⁻¹ba)³ (voir Simulateur - Mise en place des coins) montrent que cette image contient un produit de deux transpositions (x₁, x₂)(x₃, x₄) de supports disjoints.

Maintenant, si g ∈ Rub, alors g(b⁻¹a⁻¹ba)³g⁻¹ appartient à Rub ∩ G_X, et son image dans Perm_X est (g · x₁, g · x₂)(g · x₃, g · x₄), ce qui permet, en utilisant le résultat précédent, d’en déduire que l’image contient tous les produits de deux transpositions de supports disjoints. Comme |X| > 5, ceux-ci engendrent (**) Alt_X, ce qui permet de conclure.





(*) On dit que Rub agit 4-transitivement sur X ou que l’action de Rub sur X est 4-transitive.
(**) Le groupe A_n est engendré par les 3-cycles, et si n > 5, alors (abc) est le produit de (ab)(ef) et (bc)(ef), si e ≠ f et {e, f} \ {a, b, c} = ∅.