;
;
.
Or, par la formule de duplication de la tangente on aura: 
=
,
et 
.
En posant 
on aura: 
,
.
Par conséquent: 
."Cette question est extrêmement difficile, car l'on trouve d'excellents géomètres qui soutiennent qu'il n'est pas possible de trouver un carré dont la surface soit égale à celle du cercle, et d'autres qui soutiennent le contraire (...) Quant à la quadrature du cercle, nul n'a démonstré qu'elle soit possible, ou impossible; ce qui donne à certains l'éspérance de la rencontrer (...)". Mersenne [14].
[11], vol. II, p. 91.
[11], vol X, pp. 278-328
Une copie des quatre premières pages de l'édition de 1701, contenant le fragment sur la quadrature, a été trouvé parmi les cartes de Huyghens dans la bibliothèque de Leyde (Huyg. 29a folia in-4): voir aussi [11], vol X, p. 285. D'autre part, Euler se réfère au fragment cartésien par le titre de l'éditio Princeps de 1701: "In Excerptis ex Manuscriptis CARTESII paucis quidem verbis refertur constructio quidem geometrica promptissime ad circuli veram dimensionem appropinquans...", ("dans les Excerpta, parmi les manuscrits de Descartes, une construction géométrique qui approxime très rapidement la vraie mesure du cercle est illustrée en peu de mots") ce qui paraît indiquer sa familiarité avec celle ci.
LA QUADRATURE DU CERCLE. Pour carrer le cercle, je ne trouve rien de plus apte que, étant donné un carré bf, d'ajouter le rectangle cg délimité par les lignes ac et cb, égale à la quatrième partie du précédent; et ensuite le rectangle dh, formé par les segments da, dc égale à la quatrième partie du précédent, et de la même manière d'ajouter le rectangle ei, et ajouter ainsi d'autres rectangles jusqu'à l'infini, jusqu'à atteindre le point x. Tous ensembles, ils feront la troisième partie du carré bf. Et cette ligne ax sera le diamètre du cercle, dont la circonférence est égale au périmètre de ce carré bf. D'autre part, ac est le diamètre du cercle inscrit dans l'octagone isopérimètre au carré bf, ad le diamètre inscrit à la figure de 16 côtés, ae le diamètre du cercle inscrit dans la figure de 32 côtés, isopérimètre au carré bf; et ainsi à l'infini.
A savoir, Descartes nous donne la somme de la progression géométrique de raison ¼. Il est raisonnable de supposer que Descartes avait eu connaissance de sa résolution, soit par le biais de la quadrature de la parabole d'Archimède, soit à travers les calculateurs médiévaux. Ainsi C. Boyer observe: "It was apparent to him [Archimedes] that the series 1+1/4.... approached 4/3 in such a way that the difference could be made, by taking a sufficiently large number of terms, less than any specified quantity. He did not, however, go so far as to dene 4/3 as the sum of the infinite series, for this would have exposed his thought to the paradoxes of Zeno, unless he had invoked the precisely formulated concept of a limit as given in the nineteenth century. The Scholastic discussions of the fourtheenth century, on the other hand ; referred frequently to the infinite, both as actuality and potentiality..."([5], p. 77).
Ce résultat était connu par Descartes, qui le mentionne dans les Regulae ad directionem ingenii. [11] vol X, pp.388-389.
"La première édition du XVIème siècle fut donnée à Venise par Lucas Gauricus. Elle comporte le traité de la et celui de la Quadrature de la paraboleDimension du cercle dans une traduction latine que l'on a pu identifier récemment avec celle de Guillaume de Moerbeke, faite au XIIIème siècle. Cette édition rarissime porte le titre: Campani viri clarissimi Tetragonismus, id est circuli quadratura, Romae edita cum additionibus Gaurici; Archimedis Syracusani Tetragonismus; de quadratura circuli secundum Boetium. Venetiis, 1503, pet. in-4°. [21], vol. I.
[1], p. 127.
En effet, l'aire d'un triangle est égale à la moitié de l'aire d'un parallélogramme ayant même base et même hauteur. Ensuite, un parallélogramme peut être transformé en un carré de même aire, en vertu de la proposition 14 du livre II des Eléments d'Euclide ("Construire un carré égal à une figure rectiligne"). Ce passage était considéré tout à fait automatique par les mathématiciens de l'antiquité, tant que le problème de la quadrature du cercle était réductible à celui de la "triangulation du cercle", en vertu de cette équivalence entre polygones.
Il suffit de considérer: ;
;
.
Or, par la formule de duplication de la tangente on aura: =,
et .
En posant
on aura: ,
.
Par conséquent: .
Voir [9].
Voir [22]
Un procédé similaire est appliqué, probablement tout à fait inconsciemment, par Brouncker. [22]
J'emploie le mot extra-mathématique en suivant l'usage de H. Bos: "it should be stressed that the answer to this question cannot be derived from axioms within an accepted corpus of mathematical knowledge (...) any answer to the question of acceptable means of constructions necesssarily has the nature of a chosen postulate: the reason for its choice lie outside the realm of proven argument. The question whether these reasons are correct or valid has, strictly speaking, no meaning. Mathematicians are free to accept or reject any proposed decision on the question of which means of construction are legitimate in geometry and which are not". [3], p. 8.
"The early modern mathematical literature offers an at first bewildering variety of geometrical constructions and of arguments about their legitimacy (...) these arguments concern a meta, or extra mathematical question; therefore, they cannot be classified according to their correctness...". [3], p. 17.
[10], p. 316
Voir [17].
Kepler et Snellius, entre autres. Voir [3].
Voir [10], p. 339-340.
Voir [3].
Voir [3].
Voir [20], mais aussi [13].
Donc, on décrira la courbe quadratrice géométriquement de cette manière. L'arc BD sera divisé en tant de parties égales, et l'un des deux autres côtés AD, BC en autant de parties égales. Cette division sera très simple, si soit l'arc DB soit l'un de deux côtés AD, BC est premièrement bissecté, et ensuite, chaque partie est de nouveau bissectée, et ainsi de suite, autant que l'on voudra.
Les objections de Sporus contre la construction de cette courbe sont en fait deux. D'après la première, la construction de la quadratrice se fonderait sur une circularité, puisque afin que les deux axes mouvants se trouvent au même moment sur le côté AD du cercle, il faut que les vitesses des mouvements soient dans le même rapport, ce qui demanderait, d'après Sporus, de connaître le rapport de la droite à l'arc, et donc, de pouvoir effectuer la rectification du cercle. La deuxième objection est ainsi rapportée par Pappus: l'extrémité de la ligne dont certains se servent pour la quadrature du cercle, c'est à dire le point où la ligne coupe la droite AD n'est nullement trouvé ([16], p. 193). Notons finalement que la première objection a été mise en doute par H. Bos [16], alors que la deuxième semble en effet fondée.
En faite, la quadratrice peut être obtenue par intersection entre une plectoide, à savoir une rampe spiraliforme, et un plan qui la coupe "diagonalement". Le projeté orthogonal de cette intersection offre la quadratrice.
Cfr. proposition XXXIII et XXXIV dans la Collection, [16] pp. 197-201.
... puisque le point E, sur le côté AB ne peut pas être trouvé géométriquement, puisque là-bas toute intersection des deux droites s'arrête, on le trouvera sans erreur remarquable, à savoir, sans erreur qui peut être perçue à travers les sens...[6] p. 321.
[20], p. 70
Ainsi le texte de Beeckman: "Pour placer les conduites de plus en plus raides, quand le dessus d'une conduite de trois pieds est quatre pouces plus haut que le dessous de la même conduite, ce dessous doit être plus que quatre pouces plus haut que le dessous de la conduite suivante de trois pieds. On y arrivera en placant les conduites le long d'une ligne que CLAVIUS, LIb. 7 Geom. Pract. appelle la linea quadratix. Vous pourriez égalemment pendre une corde du lieu où l'eau entre jusque là où elle sorte et placer les conduites le long d'elle ; mais dans ce cas plus elles montent d'en bas, plus elles sont raides/inclinées. Je vais montrer ces choses l'une après l'autre [dans l'original, le texte est jusqu'ici en hollandais]. Clavio, Geom pract. Lib 7, démontre que les points a, b, c sont sur la quadratrice. Puisque ha, bg, fc sont perpendiculaires à l'horizon, il est clair que l'angle had est majeur que l'angle gbe, tout ou en partie. Ainsi, il est de meme clair que l'angle gbe est égale à l'angle fce. Mais, puisque ce est produite au dessus de la ligne quadratrice, n'importe quelle ligne, tombant entre ce et cf, fait avec cf un angle mineur de l'angle gbe. ab est donc moins incliné que be, et cs moins que la ligne qui est tirée entre ce et cf [dans l'original, cette partie est en latin].[2]