escalier-canon

On représente les formules de harpe comme des mots binifinis sur l'ensemble des couples de cordes noté C, c'est-à-dire des applications de Z dans C. L’ensemble des valeurs de u est la partie C' des couples de C apparaissant dans u.

Définir un canon à distance p revient à imposer une contrainte d'enchaînement sur les couples de notes simultanées situés à distance p. Soit t une fonction de « transposition » définie sur une partie des cordes (les plus aiguës) effectuant un décalage vers le grave d’un nombre n fixé de cordes. Si x est un couple de notes simultanées, on désigne par x₁ sa note la plus aiguë et x₂ la plus grave. On pose R_t(x, y) si et seulement si y₂ = t(x₁). Pour construire un canon u avec la transposition t, il faut que les couples apparaissant dans u soient le point de départ et d’arrivée d’une flèche dans le graphe de R_t.

Un mot biinfini u est un canon à distance p si et seulement si u satisfait la relation

R_t(u(i), u(i + p))

pour tout entier i de Z.

On introduit deux applications H_p et T de l’ensemble des mots biinfinis dans lui-même. L’une permet d'extraire un couple sur p et l’autre effectue un décalage :

H_pu(i) = u(pi), Tu(i) = u(i + 1)

pour tout entier i de Z. On peut composer les opérateurs entre eux en notant de façon abusive TH_pu pour T(H_p(u)). On remarque que H_p et T ne commutent pas car TH_p = H_pT^p. En effet, TH_pu(i) = T(H_p(u))(i) = H_p(u)(i + 1) = u(pi + p)) = T^p(u)(pi) = H_p(T^p(u))(i) = H_pT^pu(i).

Dans la définition du canon, soient j et k le quotient et le reste de la division euclidienne de i par p, c’est-à-dire i = pj + k. On a :

R_t(u(i), u(i + p)) = R_t(u(pj + k), u(pj + k + p)) = R_t(u(pj + k), u(p(j + 1) + k)) = R_t(T^ku(pj), T^ku(p(j + 1))) = R_t(H_pT^ku(j), H_pT^ku(j + 1))

ce qui signifie que dans le mot biinfini H_pT^ku deux éléments consécutifs sont liés par la relation R_t. On en déduit :

Proposition 1. Un mot biinfini u est un canon à distance p si et seulement si tous les sous-mots H_pT^ku suivent des chemins dans le graphe de la relation R_t pour tout k tel que 0 ≤ k < p.

Remarque. Dans un canon, les chemins du graphe correspondant aux sous-mots H_pT^ku peuvent être différents et ne pas être cycliques (si le canon n’est pas périodique). Mais il peut arriver qu’il s’agisse de cycles identiques (c’est le cas nzakara). On est alors conduit à introduire la notion de structure « en escalier ».

On désigne par σ une permutation circulaire d’une partie C' de l'ensemble des couples de cordes C, c’est-à-dire une permutation de C' n’ayant qu’une seule orbite dont l’ordre est card(C'). Un mot biinfini u à valeur dans C' a une structure en escalier avec un pas de longueur p si et seulement si

pour tout entier i de Z. Ainsi, le motif u(0)u(1)...u(p – 1) est le pas élémentaire (c'est-à-dire la « marche » de l'escalier) et il est translaté en σ(u(0))σ(u(1))...σ(u(p – 1)). En introduisant comme précédemment le quotient et le reste de la division euclidienne de i par p, on voit que :

σ(u(jp + k)) = u(pj + k + p),
σ(u(jp + k)) = u(p(j + 1) + k),
σ(H_pT^ku(j)) = H_pT^ku(j + 1)

ce qui signifie que dans le mot biinfini H_pT^ku deux éléments consécutifs sont liés par la permutation σ. On en déduit l’équivalence suivante :

Proposition 2. Pour un mot biinfini u à valeur dans une partie C' de C, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) u est un canon à distance p dont tous les sous-mots H_pT^ku suivent un même cycle dans le graphe de R_t définissant une permutation circulaire σ sur C'.
(ii) u a une structure en escalier avec un pas de longueur p dont la permutation σ sur C' correspond à un cycle dans le graphe de R_t .

Remarque. Dans le cas nzakara, l’ensemble C des cinq couples de cordes {0, 1, 2, 3, 4} ne permet pas d’obtenir des cycles non triviaux dans le graphe de R_t , d’où la nécessité d’ajouter la flèche supplémentaire R_t (4, 0) pour construire des canons.

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Mathématiques de la musique d'Afrique centrale

Encart 1: Equivalence de la structure « en escalier » et de la structure de canon