Les
démonstrations dites par exhaustion ont une structure
logique forte. Elles visent à
établir l'égalité de deux figures,
F1 = F2 ou
l'identité de deux rapports, F1 : F2 :: F3 :
F4. Pour
ce faire, on fait l'hypothèse que l'on a par exemple F1 > F2 (ou F1 : F2 :: F3 : F avec F
> F4) et l'on montre qu'on
aboutit à une contradiction.
On procède de
la même manière à partir de
l'hypothèse F1 < F2 (ou F1 : F2 :: F3 : F
avec F < F4).
On en déduit
le résultat cherché au terme d'une double
réduction à l'impossible.
Bien entendu il faut
être capable de produire des contradictions incontestables.
Dans les résultats de quadrature et de cubature, il s'agit
souvent d'une conjonction de type A > B et A < B. C'est pour
obtenir ce genre d'inégalités
qu'Archimède fait usage d'un lemme, selon lui comparable
à celui qu'utilisait Eudoxe.
Dans la Sphère
et le cylindre, il
l'énonce comme suit : « Parmi les lignes
inégales, les surfaces inégales et les figures
solides inégales, l'excès dont la plus grande
dépasse la plus petite, ajouté à
lui-même, est capable de dépasser toute grandeur
proposée parmi celles qui sont comparables entre elles
».
Nous ignorons comment
s'exprimait Eudoxe. Nous pouvons simplement relever que dans les
preuves par exhaustion du Livre XII des Éléments,
Euclide
utilise le résultat suivant :
« Deux
grandeurs inégales étant proposées, si
de la plus grande est retranchée une grandeur plus grande
que sa moitié, puis du reste une grandeur plus grande que sa
moitié, et que ceci soit toujours poursuivi, une certaine
grandeur restera, laquelle sera plus petite que la plus petite grandeur
proposée »,
établi dans
la Proposition X. 1 à partir de la Définition V.
4 :
«
Des grandeurs sont dites avoir un rapport l'une relativement
à l'autre quand elles sont capables, étant
multipliées, de se dépasser l'une l'autre
».