Avant Boole : Un lent cheminement

Les propositions sont constituées d'un sujet, auquel une copule attribue un prédicat. Grammaticalement, la forme est nom + verbe + nom. Elles sont l'objet d'une double classification :

- suivant la qualité, on distingue les affirmatives et les négatives selon que la correspondance du sujet avec le prédicat affirmée ou niée par la copule

- suivant la quantité : si le prédicat concerne la totalité du sujet, elles sont universelles et particulières sinon.

On distingue donc quatre types de propositions qui sont désignés par des voyelles majuscules pour en permettre la mémorisation :

A (universelle affirmative): « Tous les hommes sont mortels »

E (universelle négative): « Aucun homme n'est mortel »

I (particulière affirmative): « Quelques hommes sont mortels »

O (particulière négative): « Quelques hommes ne sont pas mortels ».

Les paires A,O et E,I sont contradictoires, I et O sont subalternes respectivement de A et E.

A et E sont contraires, alors que I et O sont dites subcontraires.

Ceci est résumé dans le célèbre carré logique que l'on retrouve jusque chez Gottlob Frege (1848-1925).

[Dupleix, 1607,  p. 179]

Ces propositions peuvent se transformer par permutation entre sujet et prédicat, opération nommée conversion qui joue un rôle important.
Pour E et I ceci se fait sans problème : il y a conversion simple.
Pour A, ce n'est possible qu'en obtenant le type I, il y a conversion par accident.
Et pour O, c'est impossible, sauf si l'on fait agir la négation sur le prédicat devenu sujet et le type obtenu est O : « Quelques hommes ne sont pas mortels » se convertit par négation en : «  Quelques immortels ne sont pas des hommes ».

Le cœur de la syllogistique est l'inférence : à partir de deux propositions posées comme vraies, les prémisses, on déduit la vérité d'une troisième proposition, la conclusion. Ceci se produit à condition que les deux prémisses aient un terme en commun appelé moyen terme qu'il s'agit simplement d'éliminer. La conclusion est une proposition formée avec les deux termes restant, son sujet est appelé terme mineur et son prédicat terme majeur. La Syllogistique est l'étude et la classification de toutes les manières de procéder à une telle déduction. Suivant la place occupée par le sujet S (le mineur) et le prédicat P (le majeur) de la conclusion (qui est posée de forme S est P) dans les prémisses, il y a quatre figures du syllogisme (Aristote ne reconnaissait pas la quatrième figure) :

En notant M le moyen terme,

1° figure : (M_P) et (S_M) concluent en (S_P)

2° figure : (P_M) et (S_M) concluent en (S_P)

3° figure : (M_P) et (M_S) concluent en (S_P)

4° figure :(P_M) et (M_S) concluent en (S_P).

Comme chacune des trois propositions est de l'un des quatre types A, E, I ou O, on peut envisager à priori 64 formes de syllogismes dans chaque figure. Ces formes se nomment les modes. Ainsi, il y aurait en tout 264 modes d'inférence différents. En fait, de nombreux modes sont invalides, la conclusion ne correspondant pas aux prémisses. L'un des enjeux de la syllogistique est de déterminer les modes valides suivant les figures. Par exemple le mode A A A est concluant dans la première figure, alors qu'il est invalide dans la deuxième figure.

Ainsi, après avoir établi qu'au total seuls dix-neuf modes sont concluants, on les caractérise par une appellation mnémotechnique astucieuse où les trois voyelles de chaque nom correspondent aux types des trois propositions :

1° figure : Barbara, Celarent, Darii, Ferio

2° figure : Cesare, Camestres, Festino, Baroco

3° figure : Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison

4° figure : Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Ces appellations se trouvent souvent réunies dans des formes versifiées qui nous rappellent l'importance de l'apprentissage oral et du par-cœur au Moyen Âge, avant le développement de l’imprimerie.

Les diverses conversions que nous avons vues sont mises en œuvre pour transformer tout syllogisme en l'un de la première figure, il s'agit de la réduction des syllogismes, qui permet d’établir qu’un syllogisme de n’importe quelle figure est concluant, étant admis que ceux de la première le sont. L'initiale du mode est alors significative, par exemple Bramantip (fig. 4) se réduit en Barbara, Camestres (fig.2) en Celarent et Felapton (fig. 3) en Ferio.

Il existe des règles assez nombreuses à propos des syllogismes, par exemple : Deux prémisses négatives ne donnent pas de conclusion, ou encore : Si une prémisse est particulière, la conclusion est particulière, etc.

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