Généalogie de populations : le coalescent de Kingman

Considérons $\Pi^n$ un $n$-coalescent de Kingman qui à l'instant $t$ est dans la partition $\pi$. Lorsqu'on s'intéresse à la restriction de ce processus à $n-1$ individus, deux cas se présentent.

Commençons par le cas où le bloc de $\pi$ contenant $n$ contient également un autre entier $i<n$. Alors de la restriction de $\Pi^n$ à $P_{n-1}$ on peut remonter au processus original en ajoutant à tout instant $t>0$ l'entier $n$ à la partition contenant $i$. Par conséquent, $\Pi_{|n-1}^{(n)}$ saute au mêmes instants que le processus non restreint, et arrive dans les mêmes partitions, restreintes à $n-1$. C'est donc un $n-1$-coalescent de Kingman étant à l'instant $t$ dans la partition ${\Pi_t^n}_{|n-1}$.

Supposons maintenant que le bloc $\{n \} \in \pi$, et que $\pi$ possède $k$ blocs, autrement dit l'individu $n$ n'a pas encore d'ancêtre commun dans la population. Dans ce cas deux types de sauts peuvent se produire, et l'un d'eux implique l'individu $n$, qu'on ne peut voir dans le processus restreint. Soit $\tau$ le premier instant de saut, et $A$ l'évènement $\{\{n\} \in \Pi_\tau^n}$ sur lequel l'individu $n$ n'est pas impliqué. Soit $\tau+\tau'$ le deuxième instant de saut.

Remarquons alors que le premier temps de saut de $\Pi_{|n-1}^n$ est $\tilde{\tau} = \tau + 1_{A^c}. \tau'$, c'est-à-dire que le premier instant de saut du processus restreint est égal au premier instant de saut du processus non-restreint si cet évènement ne concerne pas l'individu $n$, au deuxième instant de saut si le premier évènement est une fusion de $n$ avec un autre individu. De plus, $\tau$ est une variable aléatoire exponentielle de paramètre $\frac{k(k-1)}{2}$, $A$ est un évènement indépendant de $\tau$ de probabilité $1-\frac{2}{k}$, et $\tau'$ est une variable aléatoire exponentielle indépendante de paramètre $\frac{(k-1)(k-2)}{2}$. Nous avons alors :

$\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\tau + 1_{{A^c}}. \tau' > s) & = & \frac{2}{k} \mathbb{P}(\tau+\tau'>s) + \left(1- \frac{2}{k}\right) \mathbb{P}(\tau>s)\\ & = & \frac{2}{k} \left(\frac{k}{2}e^{-\frac{(k-1)(k-2)}{2}s} - \frac{k-2}{2}e^{-\frac{k(k-1)}{2}}\right) + \left(1- \frac{2}{k}\right)e^{-\frac{k(k-1)}{2}}\\ & = & e^{-\frac{(k-1)(k-2)}{2}s}. \end{eqnarray}$

Le premier instant de saut pour le processus restreint est donc de loi exponentielle de paramètre $\frac{(k-1)(k-2)}{2}$. De plus ${\Pi_{|n-1_{\tilde{\tau}}}^n$ est uniforme sur les partitions de $\{1,\cdots, n-1\}$ et indépendant de $\tilde{\tau}$. C'est donc bien le premier saut d'un $n-1$-coalescent de Kingman.

On passe donc d'une partition à $k-1$ blocs à une partition à $k-2$ blocs comme un $n-1$ coalescent de Kingman, et par récurrence descendante, grâce aux deux cas déjà traités, on obtient bien que $\Pi_{n-1}^n$ est un $n-1$-coalescent de Kingman, car au bout d'un certain temps, l'individu $n$ admet un ancêtre commun avec l'un au moins des autres individus.

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