$\sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{1}{n^3}$ est irrationnelSandro Franceschi, Fangzhou Jin et Joël Merker |
Encart 2 : Critères d'irrationalité
Commençons par un énoncé élémentaire.
Proposition. Un nombre réel $\beta$ est rationnel si et seulement si il existe un nombre entier $q_0 \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout couple d'entiers $(p,q) \in \mathbb{Z}^2$ avec $\beta \neq \frac{p}{q}$, l'inégalité suivante soit satisfaite :
Démonstration. Montrons d'abord le sens direct. Si $\beta$ est rationnel, soit $\displaystyle{\beta=\frac{p_0}{q_0}}$. Alors $\displaystyle{|\beta-\frac{p}{q}|=\frac{|pq_0-qp_0|}{|qq_0|}}$. Si le numérateur est non nul, sa valeur absolue est $\geqslant1$. D'où $\displaystyle{|\beta-\frac{p}{q}|\geqslant\frac{1}{qq_0}}$.
Réciproquement, soit $\beta$ un nombre irrationnel. Soit $n\in\mathbb{N}$. Trouvons un couple $(p,q)\in \mathbb{N}^2$ tel que :
Pour $x$ un nombre réel, notons $\{x\}$ la partie fractionnaire de $x$ et $[x]$ la partie entière de $x$, alors $x=\{x\}+[x]$. Considérons la suite $\{\beta\},\{2\beta\},\{3\beta\},\cdots$, qui est à valeurs dans $[0,1[$. Cette suite est injective car $\beta$ est irrationnel. Donc il existe deux entiers distincts $a, b \in \mathbb{N}$, $a \neq b$ tels que $\displaystyle{\big| \{a\beta\}-\{b\beta\} \big|<\frac{1}{n}}$. Et alors :
En posant $q=a-b$ et $p=[a\beta]-[b\beta]$ on obtient $|q\beta-p|<\frac{1}{n}$, donc le couple $(p,q)$ convient.
Par contraposée, s'il existe $q_0 \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout couple $(p,q) \in \mathbb{Z}^2$ avec $\displaystyle{\beta \neq \frac{p}{q}}$, on a $\displaystyle{\big| \beta-\frac{p}{q} \big| \geqslant \frac{1}{qq_0}}$, alors $\beta$ est rationnel.
On en déduit le critère d'irrationalité :
Corollaire. (Critère d'irrationalité d'un nombre réel)
Un nombre réel $x \in \mathbb{R}$ est irrationnel si et seulement si il existe deux suites d'entiers $(a_n)_{n\geqslant0}$ et $(b_n)_{n\geqslant0}$ telles que $a_nx+b_n\neq0$ et que $a_nx+b_n \rightarrow 0$.
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