On rappelle que la fonction $\theta$ est définie pour un
réel
$t>0$ par :
$\displaystyle{
\theta(t)
=
\sum_{n\in\mathbb{Z}}~e^{-\pi tn^2},
}$
série qui est absolument convergente.
On se propose de montrer l'\'equation fonctionnelle suivante :
Proposition.
Pour tout réel $t >0$, la fonction $\theta$
vérifie
l'équation
fonctionnelle :
$\displaystyle{
\theta(t)
=
{\textstyle{\frac{1}{\sqrt{t}}}}\,
\theta
\big({\textstyle{\frac{1}{t}}}\big).
}$
Un résultat classique de calcul
d'intégrale gaussienne donne, pour $t>0$ et pour
$y\in\mathbb{R}$ :
$\displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi tx^2-2i\pi xy} ~\mathrm{d}x
=
\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi y^2}{t}}.
}$
(Pour la démonstration, on étudie la fonction
$z\mapsto
f(z)=e^{-\pi t z^2}$ dans le plan
complexe, et lorsqu'il
s'agit de calculer l'intégrale à gauche on se
ramène à
intégrer $f$ suivant une droite horizontale
orientée de gauche
à droite;
le théorème de Cauchy permet alors de montrer que
cette intégrale est égale à
l'intégrale de $f$ suivant l'axe réel
orienté vers la droite,
puis
on conclut sachant que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm
{d}x=\frac{1}{\sqrt{t}}$.
Posons $\phi(x) := e^{-\pi tx^2}$. La transformée de Fourier
de
cette
fonction vaut :
$\displaystyle{
\widehat{\phi}(y)
=
\int_{-\infty}^{+\infty}\,\phi(x)e^{-2i\pi yx}\,{\mathrm d}x
=
\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi y^2}{t}}.
}$
Or $\phi$ est une fonction à décroissance rapide
à l'infini, donc
la formule sommatoire de Poisson s'applique :
$\displaystyle{
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\phi(n)
=
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\widehat\phi(n),
}$
et cela nous donne :
$\displaystyle{
\theta(t)
=
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\phi(n)
=
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\widehat\phi(n)
=
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi n^2}{t}}
=
\frac{1}{\sqrt{t}}\,\theta\Big(\frac{1}{t}\Big),
}$
ce qui achève la preuve.
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