$\sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{1}{n^3}$ est irrationnel

On rappelle que la fonction $\theta$ est définie pour un réel $t>0$ par :

$\displaystyle{ \theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}~e^{-\pi tn^2}, }$

série qui est absolument convergente. On se propose de montrer l'\'equation fonctionnelle suivante :

Proposition. Pour tout réel $t >0$, la fonction $\theta$ vérifie l'équation fonctionnelle :

$\displaystyle{ \theta(t) = {\textstyle{\frac{1}{\sqrt{t}}}}\, \theta \big({\textstyle{\frac{1}{t}}}\big). }$

Un résultat classique de calcul d'intégrale gaussienne donne, pour $t>0$ et pour $y\in\mathbb{R}$ :

$\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi tx^2-2i\pi xy} ~\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi y^2}{t}}. }$

(Pour la démonstration, on étudie la fonction $z\mapsto f(z)=e^{-\pi t z^2}$ dans le plan complexe, et lorsqu'il s'agit de calculer l'intégrale à gauche on se ramène à intégrer $f$ suivant une droite horizontale orientée de gauche à droite; le théorème de Cauchy permet alors de montrer que cette intégrale est égale à l'intégrale de $f$ suivant l'axe réel orienté vers la droite, puis on conclut sachant que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm {d}x=\frac{1}{\sqrt{t}}$.

Posons $\phi(x) := e^{-\pi tx^2}$. La transformée de Fourier de cette fonction vaut :

$\displaystyle{ \widehat{\phi}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\,\phi(x)e^{-2i\pi yx}\,{\mathrm d}x = \frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi y^2}{t}}. }$

Or $\phi$ est une fonction à décroissance rapide à l'infini, donc la formule sommatoire de Poisson s'applique :

$\displaystyle{ \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\phi(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\widehat\phi(n), }$

et cela nous donne :

$\displaystyle{ \theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\phi(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\widehat\phi(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi n^2}{t}} = \frac{1}{\sqrt{t}}\,\theta\Big(\frac{1}{t}\Big), }$

ce qui achève la preuve.

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