Article rédigé par
SOMMAIRE
2. Résolution d’Euler : mise en oeuvre de la méthode sur un exemple
3. Critique ou amélioration de cette méthode
Fiche élève : Un problème de deux restes simultanés traité par Euler
Le chapitre 3 du dossier Le théorème des restes chinois est consacré au mémoire de Leonhard Euler (Bâle 1707 – Saint- Pétersbourg 1783), intitulé Solution du problème arithmétique : trouver un nombre qui, divisé par des nombres donnés, donne des restes donnés. Nous allons étudier des passages de ce mémoire reproduit dans le chapitre 3, auquel nous renvoyons le lecteur. Euler y résout un problème vieux de plusieurs siècles.
Lire les paragraphes 1, 2 et 4 du texte d’Euler.
Nous allons, ensemble, suivre les paragraphes 4 à 11, qui décrivent la méthode, à l’aide de l’exemple numérique donné dans le paragraphe 12. Pour ce faire, s’aider de la fiche jointe
ci-dessous, intitulée « Un problème de restes simultanés traité par Euler ».
En suivant la méthode d’Euler sur cet exemple, nous avons pris $C = 0$.
Quelles autres valeurs peut-on prendre pour $C$ ?
Quelles solutions obtient-on ?
Dans le paragraphe 11, Euler nous dit :
« si la division de z par a donne un reste $p$, et la division par $b$ un reste $q$, tous les nombres
$ab + z$, $2ab + z$ et $mab + z$ auront la même propriété. Ce multiple $ab$ peut être ajouté ou
retranché continuellement, si $a$ et $b$ sont des nombres premiers entre eux ».
Ainsi, une solution particulière z étant trouvée, toutes les solutions sont de la forme $mab + z$, où $z$ est un entier relatif.
Cela semble tellement évident à l’auteur qu’il ne prend pas la peine de le démontrer.
Nous allons le faire maintenant. On se place dans le cas où $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
a. Supposons que $z$ soit une solution particulière du problème. En déduire que, pour tout entier naturel $m$, l’entier $mab + z$ est aussi solution du problème.
b. Réciproquement (c’est la partie qui manque dans le texte), considérons une solution $Z$ du problème et démontrons qu’il existe alors un entier relatif m tel que $Z = mab + z$.
(i) Démontrer que $Z – z$ est un multiple commun de $a$ et de $b$.
(ii) En déduire qu’il existe un entier m tel que $Z – z = mab$.
(iii) Conclure.
Résoudre le problème donné au paragraphe 13 à l’aide de la méthode d’Euler.
Nous allons suivre le texte d’Euler en l’illustrant sur un exemple.
| Formules littérales §4 à §11 | Exemple numérique §12 |
| $a =$ $b =$ $p =$ $q =$ | |
| $z = ma + p$ et $z = nb + q$ | |
|
$ma + p = nb + q$ donc $\displaystyle{n=\frac{ma + p – q}{b}=\frac{ma + \nu}{b}}$ avec $\nu= p – q$ |
|
|
Division euclidienne de $a$ par $b$ : $a = \alpha b + c$ $\displaystyle{n = m \alpha + \frac{mc + \nu}{b}}$ $\displaystyle{A = \frac{mc + \nu}{b}}$ alors $\displaystyle{m = \frac{Ab - \nu}{c}}$ $\nu$ est divisible par $c$? |
Division euclidienne de par $n = $ $A = $ alors $m =$ $c =$ |