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Après une fin d'études secondaires (où il s’illustre aux Olympiades internationales) et des classes préparatoires au Lycée Louis-le-Grand à Paris, il est reçu premier à l'entrée de l'École normale supérieure en 1975. Il est ensuite reçu premier ex æquo à l'agrégation de mathématiques, en 1977.

Il se lance dans la recherche sous la direction de Michel Herman qui, en 1976, avait accompli des progrès décisifs dans la théorie des systèmes dynamiques. Cette discipline, dont les premiers résultats très profonds avaient pourtant été démontrés par Henri Poincaré à la fin du XIXème siècle, avait été longtemps délaissée en France.

La théorie des systèmes dynamiques permet de décrire l’évolution à long terme d’un système dont on connaît l’évolution instantanée. Par exemple le mouvement des planètes autour du soleil et des problèmes d’itération.

Yoccoz a obtenu des résultats spectaculaires dans ce domaine en démontrant des théorèmes profonds très remarquables. Yoccoz s’est aussi intéressé à la topologie de l’ensemble de Mandelbrot, ensemble bien connu par ses propriétés fractales et les magnifiques images que donnent sa représentation. Pour cette étude, il utilise une méthode, appelée maintenant "puzzle de Yoccoz".

Les systèmes dynamiques sont un des domaines en mathématiques où des problèmes non résolus peuvent se formuler de manière relativement simple. Ce n’est pas pour autant un domaine facile et pour y réussir les mathématiciens doivent faire preuve de divers talents qui incluent à la fois une certaine vision géométrique et des capacités d'analyse et de combinatoire.

Quelques faits saillants :

• Médaille d'argent puis d'or aux Olympiades internationales de mathématiques en 1973 et 1974.
• Joueur d’échecs à plus de 2100 Elo dans les années 1980
• Médaille de bronze du CNRS en 1984.
• Prix IBM de mathématiques en 1985.
• Prix Salem en 1988.
• Prix Jaffé de l'Académie des sciences en 1991.
• Médaille Fields en 1994.
• Professeur au Collège de France depuis 1996, titulaire de la chaire d’équations différentielles et systèmes dynamiques.
• Il a fait partie du groupe Bourbaki.