Tout sur les polyèdres: des solides de Platon aux étoiles de Poinsot-Kepler


Jean-Jacques Dupas
(Chercheur, CEA)


Glossaire

 

Index alphabétique

Antiprisme - Archimédien - Arête - Catalan - Composé - Convexe - Déca - Deltaèdre - Dodéca - Duaux d’uniformes - Elémentaire - Ennéa - Eponges régulières - Etoile - Etoile de Kepler-Poinsot - Etoile régulière - Face - Hendéca - Hepta - Hexa - Icosa - Isoèdre - Isogonal - Jonhson - Octa - Penta - Polyèdre - Polyèdre convexe - Polyèdre non convexe - Polyèdres réguliers infinis - Polygone - Prisme - Prisme droit régulier - Pyramide - Pyramide régulière - Régulier (platonicien) - Rhombe - Rhomboèdre - Semi-régulier - Sommet- Sommets équivalents - Tetra - Triaconta - Uniforme (Coxeter-Skilling)

 

Vocabulaire général

       

Terme Définition Exemple
Polygone

Etymologie: du grec polus nombreux, plusieurs et gonias angles.

 

Figure fermée formée par une suite ordonnée de segments de droites jointifs.

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Un pentagone est un polygone à 5 cotés.
Polyèdre Etymologie: du grec polus nombreux, plusieurs et hedra siège, base.

Partie finie de l’espace, limitée par des polygones plans (faces du polyèdre) de telle façon que chaque arête soit commune à deux faces.

(Notons un paradoxe: bien que les polyèdres soient des objets usuels, le fait décrire correctement et rigoureusement un polyèdre est une opération difficile, il a fallu attendre Henri Poincaré pour avoir une définition satisfaisante)
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Un dodécaèdre régulier
Face Polygone plan limitant un polyèdre. Le nombre total de faces d’un polyèdre est noté F.  
Arête Segment de droite commun à deux faces adjacentes d’un polyèdre. Le nombre total d’arêtes d’un polyèdre est noté A.  
Sommet Extrémité d’une arête, donc point commun à au moins trois faces et au moins trois arêtes. Le nombre total de sommets d’un polyèdre est noté S.  
Sommets équivalents Deux sommets d'un polyèdre sont équivalents quand il existe une isométrie qui permet de passer de l'un à l'autre. Pour que tous les sommets soient équivalents il faut qu'il existe un ensemble d'isométries (pour les solides de Platon, les polyèdres semi réguliers, les archimédiens, les prismes et antiprismes il s'agit du groupe icosaédrique, octaédrique, tétraédrique, prismatique ou l'un de leurs sous-groupes) qui permet de passer d'un sommet à tous les autres.  
Convexe Une figure limitée par une courbe (ou une surface) fermée est convexe si en prenant n’importe quel couple de points à l'intérieur de cette figure le segment joignant ces deux points est tout entier à l'intérieur de la figure.

D’après un théorème qu'on ne démontrera pas ici, un polygone est convexe si et seulement si le polygone se trouve tout entier d’un seul coté de la droite définie par n'importe lequel de ses côtés.

 
Polyèdre convexe Un polyèdre est convexe si et seulement si posé sur n’importe quelle de ses faces, le polyèdre se trouve tout entier d’un seul coté du plan sur lequel il est posé.
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Polyèdre non convexe A contrario, un polyèdre non convexe est un polyèdre qui possède au moins une face sur laquelle il ne peut pas être posé.
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Rhombe Rhombe est un mot de vieux français qui désigne un losange. On dit rhombique ou rhombiforme.
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Rhomboèdre Un rhomboèdre est un hexaèdre à faces rhombique.  

         


Préfixes grecs

Tetra 4 Tétraèdre : polyèdre à 4 faces.
Penta 5 Pentagone : polygone à 5 cotés.
Hexa 6 Hexaèdre : polyèdre à 6 faces.
Hepta 7 Heptasyllabes : vers à 7 pieds.
Octa 8 Octaèdre : polyèdre à 8 faces.
Ennéa 9 Ennéagone : polygone à 9 faces.
Déca 10 Décamètre : 10 mètres.
Hendéca 11 Hendécagone : polygone à 11 faces.
Dodéca 12 Dodécaèdre : polyèdre à 12 faces.
Icosa 20 Icosaèdre : polyèdre à 20 faces.
Triaconta 30 Triacontaèdre rhombiques : polyèdre à 30 faces (losanges)

 

 

 

Noms de polyèdres

        On peut classer les polyèdres par familles en considérant leurs propriétés communes (attention: un polyèdre peut appartenir à plusieurs familles).

Pyramides - La façon la plus simple de passer de la dimension deux, le polygone, à la dimension trois, le polyèdre, est de prendre un polygone quelconque (la base de la pyramide), et de choisir un point n’appartenant pas au plan de la base (le sommet de la pyramide). Les segments de droite joignant les sommets de la base et le sommet de la pyramide délimitent des triangles. La base et les triangles forment une pyramide.

 

Pyramides régulières - Dans la grande famille des pyramides, il y a des pyramides particulières, celles dont la base est un polygone régulier et dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux. Ce sont les pyramides régulières. Il n'existe que trois sortes de pyramides régulières: celles dont la base est un triangle, un carré, ou un pentagone.

 

Prismes - Une autre façon de passer de la dimension deux, le polygone, à la dimension trois, le polyèdre, est de prendre un polygone quelconque et d'en construire un deuxième par translation du premier. Les segments joignant 2 à 2 les sommets ainsi translatés sont parallèles et égaux. Ils limitent des faces latérales qui sont des parallélogrammes. On obtient ainsi tous les prismes.

Prismes droits réguliers - Si la base est un polygone régulier et que les faces latérales sont des carrés, on obtient des prismes droits réguliers. Par exemple, le cube est un prisme droit régulier à base carré. On remarque que cette famille est infinie.

 

Antiprismes - Pour obtenir des antiprismes, on part d’une base, d’une deuxième base parallèle à la première. Cette deuxième base est tournée de sorte que les faces latérales ne soient plus des parallélogrammes mais des triangles. On obtient des anti-prismes. Par exemple, l ’octaèdre régulier est un anti-prisme à base triangulaire. De même si la base est un polygone régulier et que les faces latérales sont des triangles équilatéraux on obtient la famille infinie des anti-prismes réguliers.

 

Réguliers (platoniciens) - Les polyèdres réguliers sont des polyèdres convexes, dont les faces sont des polygones réguliers égaux et dont les sommets sont équivalents. Il y a 5 polyèdres réguliers:

 

  •  Le tétraèdre régulier
  • L’octaèdre régulier
  • Le cube ou hexaèdre régulier
  • Le dodécaèdre régulier
  • L’icosaèdre régulier

     

Semi-réguliers - Les polyèdres semi-réguliers sont des polyèdres convexes, dont les faces sont des polygones réguliers pas forcement égaux et dont les sommets sont équivalents. La famille des polyèdres semi-réguliers est composée des polyèdres suivants: les polyèdres réguliers, la famille infinie des prismes réguliers, la famille infinie des anti-prismes régulier et 13 autres polyèdres, appelés polyèdres Archimédiens.

        Archimédiens - Les 13 polyèdres semi réguliers qui ne sont ni réguliers, ni des prismes, ni des anti-prismes.

        Catalan - Les 13 polyèdres de Catalan sont les duaux des polyèdres archimédiens.

        Deltaèdre - Les deltaèdres sont les polyèdres convexes constitués uniquement de triangles équilatéraux. Il en existe 8 (notez que celui à 18 faces n’existe pas) :

  • 4 faces : tétraèdre régulier
  • 6 faces : 2 tétraèdres collés
  • 8 faces : octaèdre régulier
  • 10 faces : 2 pyramides à base pentagonale collées par le pentagone
  • 12 faces : Dodécaèdre siamois
  • 14 faces : Prisme à base triangulaire sommé de trois pyramides à base carrée
  • 16 faces : Antiprisme à base carrée sommé de deux pyramides à base carrée
  • 20 faces : icosaèdre régulier

 

Jonhson - Les polyèdres de Jonhson sont les polyèdres convexes constitués de polygones réguliers. Cette famille est constituée de 92 membres, les pyramides, les réguliers des semi-réguliers et bien autres. Norman Jonhson a mis au point une nomenclature originale pour les désigner. La complétude de la liste a été établi par Victor Zalgaller.

 

Elémentaires - Les polyèdres élémentaires sont des polyèdres de Johnson non sécables en d’autres polyèdres de Johnson.

 

Etoiles régulières (Kepler-Poinsot) - Polyèdres réguliers non convexes. Il y a 4 étoiles de Kepler-Poinsot.

 

Etoiles - Polyèdre obtenu en prolongeant les faces d’un polyèdre de base. Les plans se recoupent pour délimiter des cellules de l’espace. On choisit certaines de ces cellules pour former de nouveaux polyèdres.

 

Uniformes (Coxeter-Skilling) - Les polyèdres uniformes sont des polyèdres constitués de polygones réguliers et dont tous les sommets sont équivalents. Dans cette famille, il y a les 5 platoniciens, les prismes, les anti-prismes, les 13 archimédiens, les 4 étoiles de Kepler-Poinsot et 53 autres pour un total de 75. Voir planche.

 

Isogonaux - Les polyèdres isogonaux sont des polyèdres dont tous les sommets sont équivalents.

 

Isoèdre - Les polyèdres isoèdres sont des polyèdres dont toutes les faces sont égales.

 

Composés - Un polyèdre composé est un polyèdre constitué de plusieurs polyèdres interpénétrés. En général, on s’arrange pour qu’ils aient le même centre.

 

Duaux d’uniformes - Les duaux des polyèdres uniformes.

    

Polyèdres réguliers infinis ou Eponges régulières : la définition des polyèdres réguliers impose la convexité. Si on supprime cette contrainte ainsi que la contrainte implicite du nombre fini de faces, on peut construire trois familles dont les membres vérifient les deux conditions suivantes :

  • les polyèdres sont constitués d’un seul type de polygones réguliers
  • à chaque sommet on a le même nombre de sommets
 
 
 
 
 
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