CultureMath

L'équivalence entre $f(x) = 0$ et $f(1)f(0) = 0$

Nous exposons la troisième des démonstrations données par Boole, qui est la plus « booléenne » d'inspiration. [Boole 1854, p. 102-103]

Partant de $f(x) = 0$, Boole développe $f(x)$ sous la forme $f(1)x + f(0)(1-x)$, ce qui lui fournit l'équation : $f(1)x + f(0)(1-x) = 0$.

Il la multiplie alors par $x$, puis par $1-x$, ce qui lui donne successivement : $f(1)x = 0$ et $f(0)(1-x) = 0$.
(Rappelons que $x(1-x) =0$, $xx = x$ et $(1-x)(1-x) = (1-x)$ d'après la loi fondamentale.)

Il développe alors ces deux relations en fonction de $x$, obtenant : $f(1)=0/x=(0/0)(1-x)$ et $f(0)=0/(1-x)=(0/0)x$.

Il interprète alors ces équations :

1°) Aucun individu de la classe représentée par $f(1)$ n'est un $x$.

2°) Tous les individus de la classe représentée par $f(0)$ sont des $x$.

Ceci montre qu'aucun individu n'est à la fois dans la classe $f(1)$ et dans la classe$f(0)$, par conséquent $f(1)f(0) = 0$.

Une résolution de problème simple

Voici l'un des nombreux exemples plus ou moins simples que Boole donne du fonctionnement de son système, prouvant ainsi son efficacité dans la résolution de problèmes. [Boole 1854, p. 63-64 et p. 105-106]

On considère la proposition « Aucun homme n'est placé en position élevée et exempt de regards envieux ».

On note « hommes » par $y$, « placé en position élevée » par $x$ et «  exempt de regards envieux » par $z$. La classe décrite par « placé en position élevée » et « exempt de regards envieux » s'exprime par $xz$ et la classe contraire par $1-xz$. C'est à cette dernière que tous les hommes sont assujettis, de sorte que l'expression symbolique correspondante est :

$y = v(1-xz)$, où $v$ est un symbole de classe indéterminée.

Si la proposition avait été exprimée sous la forme équivalente : « Les hommes placés en position élevée ne sont pas exempt de regards envieux », son expression aurait été :

$yx = v(1-z)$.

[On doit remarquer ici que Boole utilise, sans aucun commentaire, le même symbole v dans les deux expressions, alors qu'il n'y a aucune raison pour que la classe désignée par $v$ soit la même dans les deux cas. C'est une des manifestations de l'ambigüité de ce symbole dont le statut est imprécis, ce qui lui sera reproché, et qui fonctionne chez Boole comme un quasi-quantificateur.]

On obtient ainsi deux expressions symboliques différentes pour une même affirmation. Pour montrer leur équivalence, il suffit d'éliminer le symbole $v$ dans chacune.

La première équation est : $y - v(1-xz) = 0$ (par transposition). En faisant successivement $v = 1$ puis $v = 0$ pour multiplier ensuite les résultats entre eux, on obtient :

$(y-1+xz)y = 0$, ou encore $yxz = 0$ (après distributivité).

La seconde équation est : $yx -v( 1-z) = 0$. Le même procédé donne :

$(yx-1+z)yx = 0$ c'est à dire $yxz = 0$, comme précédemment.