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Bernard Vitrac (CNRS - EPHE)

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On coupe un cône quelconque de sommet A ayant le cercle de diamètre BC comme base par deux plans, l'un passant par l'axe du cône, comme ABC, l'autre coupant la génératrice AB en F et la base du cône selon une droite DE, de telle manière qu'elle soit perpendiculaire au diamètre BC ou à son prolongement. Le premier plan découpe un triangle ABC (on l'appellera "triangle axial"), le second une section conique telle que DFE.
Posons que l'intersection du second plan avec le triangle ABC est la droite FG.
Évidemment trois cas de figure peuvent se présenter selon la droite FG est parallèle à AC, sécante avec elle ou avec son prolongement.

Figure 1: Cas où FG est parallèle à AC

 

  La droite FM est perpendiculaire à FG et donnée en longueur de telle manière que l'on ait

FM : FA :: BC² : BA.AC.

On l'appelle le paramètre de la section. Apollonius montre que, pour tout point H, on a HL² = FM.FL.

Dans ce cas le résultat n'est pas si différent par rapport à celui de l 'encart 3a.
Seule la valeur du paramètre FM est plus complexe (c'était AE).

 

 

 

 

 

 

 

 

Figure 2: Cas où FG est sécante avec AC

 

   On mène AR parallèle à FG. FM est encore perpendiculaire à FG et donnée en longueur de telle manière que l'on ait 

FP : FM :: AR² : BR.RC.

On mène aussi LOQ parallèle à FM.

PM est prolongée jusqu'en Q.

On complète le rectangle FNQL et on mène MO parallèle à FL.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figure 3: Cas où FG est sécante avec le prolongement de AC

 

 

On mène AR parallèle à FG. FM est encore perpendiculaire à FG et donnée en longueur de telle manière que l'on ait

FG : FM :: AR² : BR.RC.

On joint PM et on mène LQN parallèle à FM. On complète le rectangle FMNL. On mène QO parallèle à FO.

Dans les cas des  figures 2 et 3 Apollonius établit que, pour tout point H, le carré sur l'ordonnée HL est égal à un rectangle, FNQL (Figure 2), FOQL (Figure 3) qui ont l'un et l'autre comme largeur FL (ce que nous appelons l'abscisse, c'est-à-dire la portion du diamètre découpée par l'ordonnée). Selon la terminologie consacrée, on dit que FNQL est appliqué sur la droite FM avec la figure MOQN en excès, laquelle est semblable au rectangle contenu par PF, FM (donc à un rectangle donné), tandis que FOQL est dit appliqué sur la droite FM avec la figure MOQN en défaut, laquelle est semblable au rectangle contenu par FG, FM, lui aussi rectangle donné).