CultureMath

Bernard Vitrac (CNRS - EPHE)

Le Livre VII de la Collection mathématique  de Pappus d'Alexandrie se présente comme un companion  destiné à faciliter la lecture d'un corpus de textes, dit « du Lieu analysé », composé de douze traités dus à quatre auteurs : Euclide, Apollonius, Aristée et Ératosthène. En fait les écrits d'Apollonius représentaient, à eux seuls, près des deux tiers du corpus si l'on veut bien prendre en compte le nombre des Livres composant chaque traité. En voici la liste :

Pappus explique qu'il s'agit d'un corpus ordonné  qui porte sur la résolution des problèmes de lieu, tout particulièrement par la voie de l'analyse, c'est-à-dire la démarche régressive qui suppose résolu le problème cherché, en explore les propriétés et les conséquences, pour essayer, ensuite, par renversement de la démarche (synthèse) d'en déduire la solution à partir de ce qui était préalablement connu (un exemple est donné dans l'encart 2). Cette méthode, remarque Pappus, s'adresse à ceux qui maîtrisent déjà les Éléments.  Quant à l'ordre du corpus, il dépend, notamment, de la distinction entre problèmes plans et solides, auxquels est consacrée, à peu près à parts égales, chaque moitié du recueil.

Moins du tiers de cette collection est conservé. Reconstituer les traités perdus qui la composaient à partir des indications données par Pappus a été l'un des passe-temps favoris des géomètres des XVIe-XIXe siècles, en particulier pour le Livre VIII des Coniques,  les Porismes  d'Euclide ainsi que le traité des Contacts.

Pappus explique que l'on peut regrouper les problèmes résolus dans ce traité comme suit :
« Étant donnés successivement trois éléments quelconques pris parmi des points, des droites ou des cercles donné(e)s de position, décrire un cercle passant par le ou lesdits points et/ou tangent à chacune des lignes données éventuelles ».

Le lecteur vérifiera facilement, par simple dénombrement, que cette description englobe dix problèmes : trois points, trois droites, trois cercles donné(e)s, deux points et une droite … Le cas le plus difficile est celui de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés, souvent appelé « problème d'Apollonius ». Les solutions géométriques les plus célèbres furent proposées par Viète et Newton. Descartes le généralisa à l'espace (4 éléments pris parmi des points, des plans et des sphères) et le proposa à Fermat ...