CultureMath

Présentation de l'éditeur

Présentation du livre 

Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)

(Editions de l'Ecole Polytechnique, 2009)

 Pierre Colmez

Professeur à l’École Polytechnique, en détachement du CNRS  - e-mail

   
Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'Ecole Polytechnique.  Il offre un cours de L3 assez classique (représentations des groupes finis, espaces de Banach, intégrale de Lebesgue, transformée de Fourier, fonctions holomorphes) complété par des rappels de notions vues dans les années antérieures sous une forme pas toujours optimale (structures quotients, algèbre linéaire, topologie etc.), tout en insistant sur l'aspect culturel des mathématiques dans le but de donner une petite idée du fonctionnement interne des mathématiques.

De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l'autoroute des mathématiques utiles: j'y ai glissé des informations, en rapport avec le texte, qui m'ont séduit.
Celles-ci peuvent être d'ordre historique, présenter un problème ouvert, énoncer un résultat récent ou encore montrer quelles passerelles on peut construire entre des mondes a priori sans rapport.
L'ensemble forme une espèce de blog avec tout ce qui m'a amusé, intrigué ou époustouflé, et qui est directement compréhensible avec les notions développées dans le texte principal.

Six appendices présentent des extraits de la littérature classique et moderne, accessibles avec le contenu du cours, qui illustrent l'unité des mathématiques en montrant comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels profonds.  
L'un d'entre eux est consacré au théorème des nombres premiers (c'est une sorte d'apothéose de la théorie des fonctions holomorphes); un autre est une introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans, et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat.
Entre les deux, on trouve une formule très profonde, qui exprime le volume de l'espace des réseaux de l'espace de dimension n et qui utilise de manière astucieuse la transformée de Fourier, un chapitre d'analyse fonctionnelle p-adique qui souligne les points communs avec la théorie des séries de Fourier, et une introduction à l'un des 7 problèmes à un million de dollars à travers le problème des nombres congruents dont la trace remonte au moins au 10ème  siècle, et qui n'est toujours pas résolu.

Enfin, 9 problèmes corrigés permettent d'assimiler le contenu du cours.