Quelques opérateurs importants

 

 


 

Champ scalaire et champ de vecteurs

Un champ scalaire suroperateurs001.gif
 est tout simplement une application de cet espace dans operateurs002.gif
 ("on associe à tout point de l'espace une grandeur scalaire".)
 
Définir un champ de vecteurs deoperateurs001.gif
 c'est associer à tout point,operateurs004.gif
 un vecteur operateurs005.gif
 deoperateurs001.gif
.
 

Physiquement, cela consiste à imaginer que l'espace  operateurs001.gif

 est empli par un fluide animé par un courant et qu'à chaque point on associe le vecteur vitesse du courant en ce point.


 

Divergence d'un champ de vecteurs

Considérons un champs de vecteurs operateurs008.gif

 différentiable de operateurs001.gif
, alors sa divergence est le champ scalaire défini par

operateurs010_0.gif


(Pour la définition des dérivées partielles, cliquer ici.)
Intuitivement, cet opérateur évalué en un point x permet de dire si le champ de vecteur, au voisinage de x, se rapproche ou s'éloigne de x, en moyenne.


 

Gradient d'un champ scalaire

Considérons un champ scalaire continûment dérivable c sur operateurs001.gif

, alors son gradient est le champ de vecteurs défini par

operateurs012.gif

Intuitivement, en voyant le champ c comme la concentration d'un produit dans l'espace, le gradient de c en un point x nous indique la direction vers laquelle, en moyenne, cette concentration augmente.


 

Laplacien d'un champ scalaire

Le laplacien operateurs013_0.gif

  d'un champ scalaire continûment dérivable c est égal à la divergence de son gradient. C'est donc aussi un champ scalaire.

Techniquement, il est égal à

operateurs014.gif

C'est le plus courant des opérateurs d'ordre supérieur à 1,et il apparaît dans des équations aux dérivées partielles importantes (équation de Laplace, équation de la chaleur, etc...).


 
 
 
 
 
Dernières publications