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Trouver tous les nombres entiers de 4 chiffres $m=abcd$ tels que

$$m-a^4-b^4-c^4-d^4$$

est maximal.

On a

$$f(a,b,c,d)=m-a^4-b^4-c^4-d^4 = a (10^3-a^3) + b (10^2 -b^3) + c (10 -c^3) + d (1-d^3)$$

Sous cette forme on voit que l'on peut optimiser chaque terme de la somme indépendemment.

Pour $k=0,1,2,3$ la fonction $g_k(x)=x (10^k-x^3)$ s'étudie facilement sur $[0;9]$ et elle prend son maximum en $x_k=\sqrt[3]{\frac{10^k}{4}}$ (sa dérivée est $10^k-4x^3$, et $x_k$ est bien entre $0$ et $9$)

On prend alors les deux entiers les plus proches de $x_k$, $\alpha_k$ et $\beta_k$, pour voir si c'est $g(\alpha_k)$ ou $g(\beta_k)$ qui réalise le maximum sur $\mathbb N$.

• $k=0$ : $x_0=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\alpha_0=0$ et $\beta_0=1$. On a$ g_0(0)=0$ et $g_0(1)=0$ donc deux valeur d'optimisation pour $d$ ($0$ ou $1$).
• $k=1$ : $x_1=\sqrt[3]{\frac{10}{4}}$, $\alpha_1=1$ et $\beta_1=2$. On a $g_1(1)= 9$ et $g_1(2)= 4$ donc une seule valeur d'optimisation pour $c$ ($1$).
• $k=2$ : $x_2=\sqrt[3]{\frac{100}{4}}$, $\alpha_2=2$ et $\beta_2=3$. On a $g_2(2)=184 $ et $g_2(3)= 219$ donc une seule valeur d'optimisation pour $b$ ($3$).
• $k=3$ : $x_3=\sqrt[3]{\frac{1000}{4}}$, $\alpha_3=6$ et $\beta_3=7$. On a $g_3(6)= 4704$ et $g_3(7)=4599 $ donc une seule valeur d'optimisation pour $a$ ($6$).

Les solutions sont donc $m=6310$ et $m=6311$.

Bien sûr une étude un peu plus fine permet de ne pas faire les calculs. Nous les avons laissés pour montrer qu'il faut réfléchir que l'optimisation ne se fait pas forcément avec l'entier le plus proche de $x_k$, mais par une autre considération.