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Question du jeudi #44 : Un véhicule parcourt une route de 100 kilomètres. Son GPS estime le temps restant à parcourir en supposant que la vitesse moyenne sur le trajet restant sera égale à la vitesse moyenne depuis le départ. Au bout de 40 minutes, le GPS indique qu'il reste une heure de trajet. Est-il possible que le GPS donne la même indication pendant les cinq heures suivantes ? Si oui, combien de kilomètres resteront-ils à parcourir au bout de ces cinq heures ?

En indiquant les temps en heures et les distances en kilomètres, on peut paramétrer la route par un nombre $x$ variant entre $0$ et $100$ et la position du véhicule par une fonction $x(t) \in [0,100]$. Les conditions de l'énoncé deviennent alors, pour tout $\frac 23 \leq t \leq 5 + \frac 23$,
\begin{align*}
\frac{\text{distance à parcourir}}{\text{temps estimé}} = \frac{\text{distance parcourue}}{\text{temps écoulé}} & \iff  \frac{100-x(t)}{1} = \frac{x(t)}{t}\\
&\iff \left(1 + \frac 1t\right) x(t) = 100\\
&\iff x(t) = 100 \left(1 + \frac 1t\right)^{-1},
\end{align*}
ce qui est tout à fait possible (on remarque d'ailleurs que $x(t)$ est une fonction croissante de $t$, ce qui assure que le véhicule roule toujours dans le bon sens).

Au bout de ces cinq heures, le véhicule aura donc parcouru
\[100 \left(1 + \frac 1{\displaystyle 5 + \frac 23}\right)^{-1} = 100 \left(1 + \frac 3{17}\right)^{-1} = 100 \times \frac{17}{20} = 85\,\textrm{km}. \]
 

La vignette illustrant cet article est tirée du webcomic xkcd. Vous pouvez en trouver une traduction française ici.