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Question du jeudi #3 : On répartit 100 boules (cinquante bleues et cinquante rouges) dans deux urnes. Ensuite, on tire à pile ou face une des urnes, puis au hasard une boule dans cette urne. La probabilité de tirer une boule rouge dépend-elle de la répartition ?

La réponse à cette question est : Oui, la probabilité dépend de la répartition. On peut avoir l'impression contraire en faisant le calcul dans deux cas apparemment diamétralement opposés :

Si on remplit chaque urne par des boules d'une seule couleur, la probabilité de tirer une boule rouge est simplement la probabilité de tirer l'urne les contenant, c'est-à-dire 1/2. On peut d'ailleurs retrouver cette formule en appliquant la formule des probabilités conditionnelles : si l'on note $U_1$ (resp. $U_2$) l'événement « l'urne 1 (resp. 2) est tirée » et $R$ (resp. $B$) l'événement « une boule bleue est tirée », on a simplement \(\require{color}\)

$$P(\textcolor{red}{R}) = P(U_1) \cdot P(\textcolor{red}{R}|U_1) + P(U_2) \cdot P(\textcolor{red}{R}|U_2) = \frac{P(\textcolor{red}{R}|U_1) + P(\textcolor{red}{R}|U_2)}2.$$

Dans le cas où (par exemple) l'urne 1 contient toutes les boules rouges et l'urne 2 toutes les bleues, on a $P(\textcolor{red}{R}|U_1) = 1$ et $P(\textcolor{red}{R}|U_2)$, ce qui donne bien $P(\textcolor{red}{R}) = 1/2$.

À l'inverse, si chacune des deux urnes contient 25 boules rouges et 25 boules bleues, on a $P(\textcolor{red}{R}|U_1) = P(\textcolor{red}{R}|U_2) = 1/2$, ce qui entraîne également $P(\textcolor{red}{R}) = 1/2$.

Et ainsi de suite : si chacune des urnes contient 50 boules, on vérifie facilement que la probabilité de tirer une boule rouge est de 50%. En revanche, en jouant avec les paramètres (par exemple en utilisant le calculateur suivant), on se rend compte facilement qu'il est possible d'obtenir une autre probabilité, pourvu que les urnes soient inégalement remplies.

Combien de boules rouges mettez-vous dans la première urne ? 01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950

Combien de boules bleues mettez-vous dans la première urne ? 01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950

Calculez la probabilité.

Intuitivement, on se rend compte alors que le cas le plus biaisé (celui où la probabilité de tirer une boule rouge est la plus forte) est celui où l'une des urnes contient seulement une boule rouge alors que l'autre contient toutes les autres boules (50 bleues, 49 rouges). On arrive ainsi à presque trois chances sur 4 de tirer une boule rouge.

Il n'est évidemment pas difficile de faire vérifier ce constat par un ordinateur, pour lequel calculer la probabilité dans tous les cas ne prend guère de temps (il n'y en a après tout que 2599). Un défi intéressant serait de le montrer à la main...