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Question du jeudi #23 : Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres positifs. Montrer que l'on ne peut pas avoir simultanément les trois inégalités suivantes. \[ a(1-b) > \frac 14, \qquad b(1-c) > \frac 14, \qquad c(1-a) > \frac 14.\]

Si $a \geq 0$ et $a(1-b) > \frac 14 > 0$, le nombre $1-b$ est lui aussi positif, donc $b \leq 1$. Ainsi, on a $a, b, c \in [0,1]$.

Une manière de répondre à la question est alors d'utiliser le résultat suivant :

Proposition : Soit $x \in [0,1]$. Alors $x(1-x) \leq \frac 14$.

La preuve de cette proposition est aisée : $x(1-x) = x - x^2$ est un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif. Son maximum est donc atteint au milieu de ses racines, c'est-à-dire en $\frac 12$.

Ainsi, en multiplicant trois copies de cette inégalité (une pour chacune des variables), on obtient
\[ a(1-a)b(1-b)c(1-c) \leq \left(\frac 14\right)^3 = \frac 1{64}.\]

Or, si les trois inégalités de la question étaient vraies, on obtiendrait en les multipliant
\[ a(1-b) b(1-c) c(1-a) = a(1-a)b(1-b)c(1-c) > \frac 1{64},\]
ce qui est impossible.