CultureMath

Vous pouvez retrouver cette question au format pdf.

Question du jeudi #22 : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes et le découpent donc en six petits triangles.

Montrer que ces six triangles ont la même aire.

---

Il est évidemment possible de donner beaucoup de preuves différentes de ce résultat, plus ou moins calculatoires.

La plus conceptuelle est probablement de considérer que si $ABC$ est un triangle non dégénéré, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment une base du plan vectoriel. Il est donc possible de trouver une transformation linéaire envoyant cette base sur la base $\left(\binom 1 0, \binom {1/2} {\sqrt 3/2}\right)$. Autrement dit, il existe une transformation affine envoyant le triangle $ABC$ sur le triangle équilatéral standard.

Or, une transformation affine multiplie les aires par un facteur constant (la valeur absolue du déterminant de la transformation linéaire associée). Ainsi, le cas d'un triangle non dégénéré se ramène à celui du triangle équilatéral. Or, pour celui-ci, l'énoncé est évident car les six petits triangles sont en fait isométriques.



Ainsi, la propriété est démontrée pour tous les triangles.