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Question du jeudi #18 : Montrer que parmi tout ensemble de treize nombres réels distincts, on peut en trouver deux ($a$ et $b$) tels que $0 < \frac{a-b}{1+ab} \leq  2 - \sqrt 3$.

Il s'agit ici de reconnaître la formule de différence pour la tangente :
\[ \forall x, y \in \left]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2\right[, \tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y}.\]

Comme la fonction $\tan : \left]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2\right[ \to \mathbb R$ est bijective, on peut écrire les treize nombres de notre ensemble sous la forme $\tan x_i$ pour $1 \leq i \leq 13$. Quitte à réordonner les $(x_i)$, on a donc
\[ -\frac{\pi}2 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{12} < x_{13} < \frac \pi 2.\]

Puisque les douze intervalles $\left]x_i, x_{i+1}\right[$ (pour $1 \leq i \leq 12$) sont disjoints, la somme de leurs longueurs est inférieure à $\pi$. On peut donc trouver $1 \leq i \leq 12$ tel que $x_{i+1} - x_i \leq \frac{\pi}{12}.$

Si on pose $b = \tan x_i$ et $a = \tan x_{i+1}$ (qui sont des éléments de l'ensemble de départ), la croissance de la fonction tangente entraîne que
\[ 0 < \frac{a - b}{1+ab}  = \frac{\tan x_{i+1} - \tan x_i}{1 + \tan(x_i)\tan(x_{i+1})} = \tan(x_{i+1} - x_i) < \tan \frac \pi {12}.\]

Il ne reste donc plus qu'à vérifier que $\tan \frac \pi{12} = 2 - \sqrt 3$ pour conclure.

La formule du doublement de l'angle $\cos(2 \theta) = 2\cos^2 \theta - 1$ montre que $2\cos^2 \frac \pi {12} - 1 = \cos \frac \pi 6 = \frac {\sqrt 3}2$, ce qui entraîne $\cos^2 \frac \pi{12} = \frac{2 + \sqrt 3}4$. On a alors $\sin^2 \frac \pi {12} = 1 - \cos^2 \frac \pi {12} = \frac{2 - \sqrt 3}4$.

Tout cela entraîne
\[ \tan^2 \frac \pi {12} = \frac{2 - \sqrt 3}{2 + \sqrt 3} = \left(2-\sqrt 3\right)^2.\]
et donc, puisque $\tan \frac \pi {12} > 0$,
\[ \tan \frac \pi {12} = 2 - \sqrt 3.\]